Номер 5.12, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.12. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен $60^{\circ}$, высота, проведенная к боковой стороне, равна 17 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором боковые стороны $AB=BC$, а $AC$ — основание.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Один из внешних углов по условию равен $60^\circ$. Найдем соответствующий ему внутренний угол треугольника: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол в $120^\circ$ был углом при основании, то сумма двух углов при основании была бы $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$, что превышает сумму всех углов треугольника ($180^\circ$). Следовательно, угол в $120^\circ$ — это угол при вершине, противолежащей основанию. Пусть это будет угол $\angle B$.

Итак, $\angle B = 120^\circ$.

Найдем углы при основании $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

По условию, высота, проведенная к боковой стороне, равна $17$ см. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Так как угол $\angle B = 120^\circ$ — тупой, высота $AH$ упадет на продолжение стороны $BC$ за точку $B$. Таким образом, у нас образуется прямоугольный треугольник $\triangle AHB$.

Рассмотрим этот прямоугольный треугольник $\triangle AHB$:

Угол $\angle ABH$ смежен с углом $\angle ABC$ треугольника. Следовательно:

$\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ мы знаем катет $AH=17$ см (данная в условии высота) и угол $\angle ABH = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $AB$, которая является боковой стороной исходного треугольника.

$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{17}{\sin(60^\circ)}$

Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AB = \frac{17}{\sqrt{3}/2} = \frac{34}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь, зная боковую сторону $AB = BC = \frac{34}{\sqrt{3}}$ см и все углы треугольника $\triangle ABC$, мы можем найти основание $AC$. Для этого воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

$\frac{AC}{\sin(120^\circ)} = \frac{34/\sqrt{3}}{\sin(30^\circ)}$

Подставим значения синусов ($\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$):

$\frac{AC}{\sqrt{3}/2} = \frac{34/\sqrt{3}}{1/2}$

$AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{34}{\sqrt{3}} \cdot 2$

$AC = \frac{34}{\sqrt{3}} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 34$ см.

Ответ: 34 см.