Номер 5.10, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

наименьшей?

5.10*. Докажите, что если точка X лежит внутри треугольника ABC, то $XB + XC < AB + AC$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом дополнительного построения и свойством неравенства треугольника.

Пусть дана точка $X$, расположенная внутри треугольника $ABC$. Проведем луч $BX$ до его пересечения со стороной $AC$ в точке $D$. Поскольку точка $X$ находится внутри треугольника, точка $D$ будет лежать на отрезке $AC$ (между точками $A$ и $C$).

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей стороны. Применительно к нашему случаю: $AB + AD > BD$

2. Теперь рассмотрим треугольник $XDC$. Для него также справедливо неравенство треугольника: $XD + DC > XC$

3. Начнем преобразование с левой части доказываемого неравенства, используя результаты, полученные выше. Из неравенства для треугольника $XDC$ имеем $XC < XD + DC$. Прибавим к обеим частям этого неравенства длину отрезка $XB$: $XB + XC < XB + XD + DC$

По построению точки $B$, $X$ и $D$ лежат на одной прямой, причем $X$ находится между $B$ и $D$. Следовательно, $XB + XD = BD$. Подставим это в наше неравенство: $XB + XC < BD + DC$

4. Вернемся к неравенству для треугольника $ABD$: $AB + AD > BD$, или $BD < AB + AD$. Используем это для замены $BD$ в предыдущем выражении: $XB + XC < (AB + AD) + DC$

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$, то $AD + DC = AC$. Заменив сумму в правой части, получаем итоговое неравенство: $XB + XC < AB + AC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой точки $X$ внутри треугольника $ABC$ выполняется неравенство $XB + XC < AB + AC$.