Номер 5.13, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведенная из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем из вершины $A$ медиану $AM$ к стороне $BC$. Обозначим длину медианы $AM$ как $m_a$, а длину стороны $BC$ как $a$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BM = MC = a/2$.

Обозначим угол при вершине $A$ как $\angle BAC = \alpha$, угол при вершине $B$ как $\angle ABC = \beta$ и угол при вершине $C$ как $\angle ACB = \gamma$. Угол $\alpha$ можно представить как сумму двух углов: $\angle BAM = \alpha_1$ и $\angle CAM = \alpha_2$, так что $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$.

Доказательство основано на свойстве треугольника: в любом треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, а напротив равных сторон лежат равные углы.

Острый угол

Докажем, что угол является острым, если медиана, проведенная из его вершины, больше половины противоположной стороны. В наших обозначениях это условие выглядит как $m_a > a/2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $m_a > a/2$, то $AM > BM$. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, следовательно, $\angle ABM > \angle BAM$, то есть $\beta > \alpha_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Так как $m_a > a/2$, то $AM > CM$. Следовательно, $\angle ACM > \angle CAM$, то есть $\gamma > \alpha_2$.

Сложим полученные неравенства: $\beta + \gamma > \alpha_1 + \alpha_2$. Поскольку $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$, получаем $\beta + \gamma > \alpha$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, откуда $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$.

Подставим это выражение в неравенство $\beta + \gamma > \alpha$:$180^\circ - \alpha > \alpha$$180^\circ > 2\alpha$$\alpha < 90^\circ$

Следовательно, угол $\alpha$ является острым.

Ответ: Если медиана больше половины противоположной стороны, то соответствующий угол треугольника является острым.

Прямой угол

Докажем, что угол является прямым, если медиана, проведенная из его вершины, равна половине противоположной стороны. В наших обозначениях это условие выглядит как $m_a = a/2$.

В этом случае $AM = BM = CM = a/2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $AM = BM$, он является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle ABM = \angle BAM$, то есть $\beta = \alpha_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Так как $AM = CM$, он также является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle ACM = \angle CAM$, то есть $\gamma = \alpha_2$.

Сложим полученные равенства: $\beta + \gamma = \alpha_1 + \alpha_2$. Поскольку $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$, получаем $\beta + \gamma = \alpha$.

Из суммы углов треугольника $ABC$ ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$), подставим $\beta + \gamma = \alpha$:$\alpha + \alpha = 180^\circ$$2\alpha = 180^\circ$$\alpha = 90^\circ$

Следовательно, угол $\alpha$ является прямым. Это также известное свойство: медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Ответ: Если медиана равна половине противоположной стороны, то соответствующий угол треугольника является прямым.

Тупой угол

Докажем, что угол является тупым, если медиана, проведенная из его вершины, меньше половины противоположной стороны. В наших обозначениях это условие выглядит как $m_a < a/2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $m_a < a/2$, то $AM < BM$. В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол, следовательно, $\angle ABM < \angle BAM$, то есть $\beta < \alpha_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Так как $m_a < a/2$, то $AM < CM$. Следовательно, $\angle ACM < \angle CAM$, то есть $\gamma < \alpha_2$.

Сложим полученные неравенства: $\beta + \gamma < \alpha_1 + \alpha_2$. Поскольку $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$, получаем $\beta + \gamma < \alpha$.

Используя выражение для суммы углов $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$, подставим его в неравенство $\beta + \gamma < \alpha$:$180^\circ - \alpha < \alpha$$180^\circ < 2\alpha$$\alpha > 90^\circ$

Следовательно, угол $\alpha$ является тупым.

Ответ: Если медиана меньше половины противоположной стороны, то соответствующий угол треугольника является тупым.