Номер 5.18, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.18. Точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $a$. Перпендикуляры $AN$ и $BK$ к прямой $a$ равны. Отрезки $AK$ и $BN$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что точка $O$ равноудалена от точек $A$, $N$, $K$ и $B$.

Для доказательства утверждения рассмотрим четырехугольник ABKN, образованный точками A, B, K, и N.

1. Доказательство того, что четырехугольник ABKN является параллелограммом

По условию задачи, отрезки $AN$ и $BK$ — это перпендикуляры к прямой $a$. Поскольку две прямые ($AN$ и $BK$) перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($a$), они параллельны друг другу. Таким образом, $AN \parallel BK$.

Также по условию дано, что длины этих перпендикуляров равны: $AN = BK$.

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны одновременно параллельны и равны по длине, является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник ABKN — это параллелограмм.

2. Доказательство того, что параллелограмм ABKN является прямоугольником

Точки N и K лежат на прямой $a$, следовательно, отрезок $NK$ также лежит на прямой $a$.

Так как отрезок $AN$ перпендикулярен прямой $a$, он перпендикулярен и любому отрезку, лежащему на этой прямой, в частности отрезку $NK$. Это означает, что угол $\angle ANK$ является прямым, то есть $\angle ANK = 90^\circ$.

Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, ABKN — это прямоугольник.

3. Использование свойств диагоналей прямоугольника

Отрезки $AK$ и $BN$, которые по условию пересекаются в точке O, являются диагоналями прямоугольника ABKN.

Согласно свойству диагоналей прямоугольника, они равны по длине и в точке пересечения делятся пополам. То есть, $AK = BN$, и точка O является их общей серединой.

Из того, что O — середина диагонали $AK$, следует, что $OA = OK = \frac{1}{2}AK$.

Из того, что O — середина диагонали $BN$, следует, что $OB = ON = \frac{1}{2}BN$.

Поскольку диагонали равны ($AK = BN$), то равны и их половины:

$OA = OK = OB = ON$.

Таким образом, мы доказали, что точка O равноудалена от точек A, N, K и B, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояния от точки O до точек A, N, K и B равны ($OA = ON = OK = OB$), так как четырехугольник ABKN является прямоугольником, а точка O — его центр (точка пересечения диагоналей).