Номер 5.21, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены медиана $AM$ и высота $AH$ к стороне $BC$. По условию задачи, они делят угол $\angle BAC$ на три равные части. Обозначим каждую из этих частей как $\alpha$, следовательно, $\angle BAC = 3\alpha$. Существует два возможных варианта взаимного расположения медианы и высоты, которые мы рассмотрим поочередно.

Случай 1: Высота $AH$ лежит между стороной $AB$ и медианой $AM$.

В этом случае углы при вершине $A$ распределяются следующим образом: $\angle BAH = \angle HAM = \angle MAC = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ (так как $AH$ — высота, $\angle AHB = 90^\circ$). Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$, поэтому $\angle B = 90^\circ - \angle BAH = 90^\circ - \alpha$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$) угол $\angle HAC = \angle HAM + \angle MAC = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Следовательно, угол $\angle C = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - 2\alpha$.

Поскольку $AM$ является медианой, она делит сторону $BC$ пополам, то есть $BM = MC$. Применим теорему синусов к треугольникам $ABM$ и $AMC$.

В треугольнике $ABM$ угол $\angle BAM = \angle BAH + \angle HAM = 2\alpha$. По теореме синусов имеем:$\frac{BM}{\sin(\angle BAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle B)} \implies \frac{BM}{\sin(2\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - \alpha)} = \frac{AM}{\cos(\alpha)}$.Отсюда $BM = \frac{AM \cdot \sin(2\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{AM \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2AM\sin(\alpha)$.

В треугольнике $AMC$ угол $\angle MAC = \alpha$. По теореме синусов:$\frac{MC}{\sin(\angle MAC)} = \frac{AM}{\sin(\angle C)} \implies \frac{MC}{\sin(\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} = \frac{AM}{\cos(2\alpha)}$.Отсюда $MC = \frac{AM \cdot \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Приравнивая выражения для $BM$ и $MC$, получаем:$2AM\sin(\alpha) = \frac{AM \cdot \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.Поскольку для невырожденного треугольника $AM \neq 0$ и $\alpha \neq 0$, можно сократить на $AM\sin(\alpha)$:$2 = \frac{1}{\cos(2\alpha)} \implies \cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$.Так как $2\alpha$ — это острый угол треугольника $AHC$, то $2\alpha = 60^\circ$, откуда $\alpha = 30^\circ$.Тогда искомый угол $\angle BAC = 3\alpha = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Случай 2: Медиана $AM$ лежит между стороной $AB$ и высотой $AH$.

В этом случае углы при вершине $A$ распределяются так: $\angle BAM = \angle MAH = \angle HAC = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$) угол $\angle HAB = \angle BAM + \angle MAH = 2\alpha$. Отсюда $\angle B = 90^\circ - 2\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$) угол $\angle HAC = \alpha$. Отсюда $\angle C = 90^\circ - \alpha$.

Вновь используем теорему синусов для треугольников $ABM$ и $AMC$ и равенство $BM=MC$.

В треугольнике $ABM$ угол $\angle BAM = \alpha$. По теореме синусов:$\frac{BM}{\sin(\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} \implies BM = \frac{AM \cdot \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

В треугольнике $AMC$ угол $\angle MAC = \angle MAH + \angle HAC = 2\alpha$. По теореме синусов:$\frac{MC}{\sin(2\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - \alpha)} \implies MC = \frac{AM \cdot \sin(2\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2AM\sin(\alpha)$.

Приравнивая $BM$ и $MC$:$\frac{AM \cdot \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 2AM\sin(\alpha)$.Сокращение на $AM\sin(\alpha)$ приводит к тому же уравнению:$\frac{1}{\cos(2\alpha)} = 2 \implies \cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$.Решение также $\alpha = 30^\circ$, что дает $\angle BAC = 3\alpha = 90^\circ$.

Таким образом, в обоих возможных конфигурациях угол треугольника, из которого проведены медиана и высота, равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.