Номер 5.25, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.25*. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Пусть даны отрезки, соответствующие длинам двух сторон $a$ и $b$, и медианы $m_c$, проведенной к третьей стороне. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором, например, $AC=b$, $BC=a$, и медиана $CM = m_c$, где $M$ — середина стороны $AB$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину так, чтобы $MD = CM$. Таким образом, длина отрезка $CD$ составит $2m_c$. Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ является серединой $AB$, а по нашему построению, $M$ является также серединой $CD$. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ADBC$ — параллелограмм.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $ACD$. Длины всех его сторон известны: $AC = b$, $AD = a$ и $CD = 2m_c$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACD$ по трем известным сторонам, а затем — к нахождению вершины $B$ искомого треугольника $ABC$.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $CD$, длина которого равна удвоенной длине медианы, то есть $2m_c$. Отметим его середину — точку $M$.

2. Построим треугольник $ACD$ по трем сторонам. Для этого:

а) Проведем окружность (или дугу) с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине стороны $b$.

б) Проведем окружность (или дугу) с центром в точке $D$ и радиусом, равным длине стороны $a$.

в) Точка пересечения этих окружностей (дуг) будет вершиной $A$. (Если окружности пересекаются в двух точках, можно выбрать любую, так как это приведет к построению конгруэнтных треугольников).

3. Соединим точки $A$, $C$ и $D$ отрезками. Мы получили вспомогательный треугольник $ACD$.

4. Для нахождения вершины $B$ проведем луч $AM$ и на его продолжении за точку $M$ отложим отрезок $MB$, равный отрезку $AM$.

5. Соединим точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

1. По построению, сторона $AC$ имеет длину $b$ (так как точка $A$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $b$).

2. Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. По построению, точка $M$ является серединой диагоналей $AB$ и $CD$. Следовательно, $ADBC$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, значит $BC=AD$. По построению, $AD=a$ (так как точка $A$ лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $a$). Таким образом, $BC=a$.

3. Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой $M$ стороны $AB$, следовательно, $CM$ является медианой треугольника $ABC$. Ее длина по построению равна $m_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно тогда и только тогда, когда возможно построить вспомогательный треугольник $ACD$ со сторонами $a, b, 2m_c$. Согласно неравенству треугольника, для этого должны выполняться три условия:

$a + b > 2m_c$

$a + 2m_c > b$

$b + 2m_c > a$

Если все три неравенства выполняются, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если одно из неравенств обращается в равенство, то точки $A, C, D$ лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок (решения в виде невырожденного треугольника не существует). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то задача не имеет решений.

Ответ: Чтобы построить требуемый треугольник, следует сначала построить вспомогательный треугольник по трем сторонам: $a$, $b$ и $2m_c$. Пусть это будет треугольник $ACD$ со сторонами $AC=b$, $AD=a$ и $CD=2m_c$. Затем следует найти середину $M$ стороны $CD$. После этого провести луч $AM$ и на его продолжении отложить отрезок $MB = AM$. Соединив точки $A, B, C$, получим искомый треугольник. Построение возможно только при выполнении неравенства треугольника для сторон $a$, $b$ и $2m_c$.