Номер 5.32, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

$P=b+c$, каким, что $BC = BD$.

5.32. Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведенной из вершины другого угла.

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$ по заданному периметру $P$, углу $\angle B = \beta$ и высоте $h_a$, проведенной из вершины $A$ на сторону $BC$.

Решение задачи состоит из четырех этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $a, b, c$ — длины сторон $BC, AC, AB$ соответственно. Нам даны $P = a+b+c$, угол $\angle B = \beta$ и высота $h_a$.

Продолжим сторону $BC$ за точки $B$ и $C$. На продолжении отложим отрезок $BD=AB=c$ (так, что точка $B$ лежит между $D$ и $C$) и отрезок $CE=AC=b$ (так, что точка $C$ лежит между $B$ и $E$). В результате получим отрезок $DE$, длина которого равна периметру треугольника $ABC$:

$DE = DB + BC + CE = c + a + b = P$.

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как $AB=DB$, он является равнобедренным. Угол $\angle ABC = \beta$ является внешним углом для треугольника $ADB$ при вершине $B$. Величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно,

$\angle ABC = \angle D + \angle DAB$.

Поскольку $\triangle ADB$ равнобедренный, $\angle D = \angle DAB$. Отсюда получаем:

$\beta = 2\angle D \implies \angle D = \frac{\beta}{2}$.

Теперь рассмотрим положение вершины $A$. Высота $h_a$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на прямую $BC$. Так как точки $D, B, C, E$ лежат на одной прямой, высота $h_a$ также является расстоянием от точки $A$ до прямой $DE$.

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $ADE$. Для этого треугольника мы знаем:

1. Длину стороны $DE = P$.
2. Угол $\angle D = \frac{\beta}{2}$.
3. Высоту, опущенную из вершины $A$ на сторону $DE$, равную $h_a$.

После построения треугольника $ADE$ нам нужно найти вершины $B$ и $C$.Вершина $B$ лежит на отрезке $DE$ и по построению $DB=AB$. Это означает, что точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Значит, точка $B$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AD$ и отрезка $DE$.

Аналогично, вершина $C$ лежит на отрезке $DE$ и $CE=AC$. Следовательно, точка $C$ равноудалена от точек $A$ и $E$. Значит, точка $C$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AE$ и отрезка $DE$.

Построение

На основе проведенного анализа выполним построение с помощью циркуля и линейки.

1. Строим отрезок $DE$ длиной, равной данному периметру $P$.
2. Строим угол, равный данному углу $\beta$. Затем строим его биссектрису, чтобы получить угол $\frac{\beta}{2}$.
3. От луча $DE$ в одной из полуплоскостей откладываем угол $\angle EDX = \frac{\beta}{2}$.
4. Строим прямую $m$, параллельную прямой $DE$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее (в той же полуплоскости, что и луч $DX$).
5. Точка пересечения луча $DX$ и прямой $m$ является вершиной $A$.
6. Соединяем точки $A$ и $D$, получаем отрезок $AD$. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точка его пересечения с отрезком $DE$ есть вершина $B$.
7. Соединяем точки $A$ и $E$, получаем отрезок $AE$. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точка его пересечения с отрезком $DE$ есть вершина $C$.
8. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Периметр. Периметр треугольника $ABC$ равен $AB+BC+AC$. По построению, точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, следовательно, $AB=DB$. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$, следовательно, $AC=CE$. Тогда периметр равен $DB+BC+CE$. Так как точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $DE$, сумма $DB+BC+CE$ равна длине всего отрезка $DE$. По построению $DE=P$. Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен $P$.
2. Угол. Рассмотрим угол $\angle ABC$. Он является внешним для треугольника $ADB$ при вершине $B$. Следовательно, $\angle ABC = \angle D + \angle DAB$. Так как $\triangle ADB$ равнобедренный ($AB=DB$), то $\angle D = \angle DAB$. Значит, $\angle ABC = 2 \angle D$. По построению $\angle D = \frac{\beta}{2}$, откуда $\angle ABC = 2 \cdot \frac{\beta}{2} = \beta$.
3. Высота. Высота $h_a$ в треугольнике $ABC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины $A$ на прямую $BC$. Прямая $BC$ совпадает с прямой $DE$. По построению, точка $A$ лежит на прямой $m$, параллельной $DE$ и удаленной от нее на расстояние $h_a$. Следовательно, высота из $A$ на $BC$ равна $h_a$.

Все условия задачи выполнены.

Исследование

Выясним, при каких условиях задача имеет решение.

Построение возможно, если все шаги выполнимы и приводят к невырожденному треугольнику.

1. Построение точки $A$ возможно и однозначно, если луч $DX$ (с углом $\frac{\beta}{2}$ к $DE$) не параллелен прямой $m$. Это выполняется, так как $0 < \beta < 180^\circ$, а значит $0 < \frac{\beta}{2} < 90^\circ$.

2. Для существования невырожденного треугольника $ABC$ точки $B$ и $C$ должны быть различными и лежать между $D$ и $E$. Точка $B$ должна лежать левее точки $C$.

Условие того, что $B$ и $C$ различны и $B$ левее $C$, сводится к неравенству треугольника для стороны $c=AB$. В любом треугольнике $a+b > c$. Так как $P=a+b+c$, то $P-c > c$, что равносильно $P > 2c$.

Найдем длину стороны $c=AB$. В прямоугольном треугольнике, образованном вершинами $A, B$ и основанием высоты из $A$ на прямую $AB$, гипотенуза $c=AB$, а катет, противолежащий углу $\beta$, равен $h_a$. Отсюда $h_a = c \sin\beta$, следовательно, $c = \frac{h_a}{\sin\beta}$.

Подставляя это в неравенство $P>2c$, получаем условие существования решения:

$P > \frac{2h_a}{\sin\beta}$.

Если $P > \frac{2h_a}{\sin\beta}$, задача имеет единственное решение.

Если $P = \frac{2h_a}{\sin\beta}$, то $a+b=c$, точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок. Решения в виде невырожденного треугольника нет.

Если $P < \frac{2h_a}{\sin\beta}$, то $a+b < c$, что противоречит неравенству треугольника, и решения не существует.

Также необходимо отметить, что задача может быть поставлена с высотой $h_c$, проведенной из вершины $C$. В этом случае решение также существует и строится аналогично, но через вычисление стороны $a = h_c/\sin\beta$ и последующее построение треугольника по стороне $a$, углу $\beta$ и сумме двух других сторон $b+c=P-a$. Условие существования решения в этом случае будет $P > 2a = \frac{2h_c}{\sin\beta}$.

Ответ: Задача имеет единственное решение при выполнении условия $P > 2h/\sin\beta$, где $h$ — данная высота ($h_a$ или $h_c$). Построение выполняется согласно алгоритму, описанному выше.