Номер 5.26, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.26. Постройте треугольник $ABC$ по стороне $BC$, медиане $BN$ и высоте $BH$.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам даны сторона $BC$, медиана $BN$ и высота $BH$.

Высота $BH$ опущена на прямую, содержащую сторону $AC$. Это означает, что $BH \perp AC$, и, следовательно, треугольник $BHC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

Медиана $BN$ соединяет вершину $B$ с серединой $N$ стороны $AC$. Следовательно, $AN=NC$.

Точки $A, H, N, C$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник $BHN$. Он также является прямоугольным, так как угол $H$ прямой. В этом треугольнике нам известны длины катета $BH$ (данная высота) и гипотенузы $BN$ (данная медиана). Прямоугольный треугольник можно однозначно построить по катету и гипотенузе. Это построение является ключевым, так как оно позволяет определить положение вершины $B$ относительно прямой $AC$, а также положение точек $H$ и $N$ на этой прямой.

После построения треугольника $BHN$ мы знаем положение вершин $B$, $H$, $N$ и прямой $AC$ (как прямой, проходящей через $H$ и $N$). Далее можно найти вершину $C$. Точка $C$ лежит на прямой $AC$ и находится на расстоянии, равном длине стороны $BC$, от точки $B$. Таким образом, $C$ является точкой пересечения прямой $AC$ и окружности с центром в $B$ и радиусом $BC$.

Зная положение точек $C$ и $N$, мы можем найти вершину $A$. Так как $N$ — середина $AC$, точка $A$ симметрична точке $C$ относительно точки $N$.

Построение

1. Проведём произвольную прямую $l$. Отметим на ней произвольную точку $H$.

2. Через точку $H$ построим прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.

3. На прямой $p$ отложим отрезок $BH$, равный заданной длине высоты. Для этого построим окружность с центром в $H$ и радиусом, равным длине $BH$. Одна из точек пересечения окружности с прямой $p$ будет вершиной $B$.

4. С центром в точке $B$ проведём окружность радиусом, равным длине медианы $BN$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет точкой $N$. (Если $BN > BH$, то таких точек будет две, симметричных относительно $H$; можно выбрать любую из них).

5. С центром в точке $B$ проведём окружность радиусом, равным длине стороны $BC$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $C$. (Если $BC > BH$, таких точек будет две; можно выбрать любую).

6. Найдём вершину $A$. Для этого на прямой $l$ от точки $N$ отложим отрезок $NA$, равный отрезку $NC$, так, чтобы точка $N$ оказалась между $A$ и $C$. (Это можно сделать, проведя окружность с центром $N$ и радиусом $NC$; вторая точка пересечения с прямой $l$ будет $A$).

7. Соединим точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ имеет заданную длину согласно шагу 5 построения. Высота из вершины $B$ на прямую $AC$ есть перпендикуляр $BH$, длина которого была задана на шаге 3. Отрезок $BN$ соединяет вершину $B$ с точкой $N$, которая по построению (шаг 6) является серединой стороны $AC$. Следовательно, $BN$ — медиана, и её длина была задана на шаге 4. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных длинах отрезков. Для возможности построения необходимо выполнение следующих условий:

1. Из прямоугольного треугольника $BHN$ следует, что гипотенуза $BN$ не может быть короче катета $BH$, т. е. должно выполняться неравенство $BN \ge BH$.

2. Из прямоугольного треугольника $BHC$ следует, что гипотенуза $BC$ не может быть короче катета $BH$, т. е. должно выполняться неравенство $BC \ge BH$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, задача не имеет решений.

Рассмотрим количество решений в зависимости от соотношения данных длин:

— Если $BN < BH$ или $BC < BH$, то решений нет.

— Если $BN > BH$ и $BC > BH$: В этом случае на шаге 4 мы получаем две возможные точки для $N$ ($N_1$ и $N_2$, симметричные относительно $H$), а на шаге 5 — две возможные точки для $C$ ($C_1$ и $C_2$, симметричные относительно $H$).

- Если $BN \neq BC$, то, зафиксировав одну точку $N$ (например, $N_1$), мы получим два различных (неконгруэнтных) треугольника при выборе $C_1$ и $C_2$. Выбор другой точки $N_2$ даст треугольники, симметричные (конгруэнтные) первым двум. Таким образом, в этом случае задача имеет 2 различных решения.

- Если $BN = BC$, то $|HN|=|HC|$. Чтобы избежать вырожденного треугольника (когда $A=C$), точки $N$ и $C$ должны лежать по разные стороны от точки $H$. Такой выбор определяет решение однозначно (с точностью до симметрии). Таким образом, задача имеет 1 решение.

— Если выполняется одно из равенств:

- $BN = BH$ и $BC > BH$: точка $N$ совпадает с $H$. Выбор одной из двух точек для $C$ однозначно определяет треугольник (второй вариант даст конгруэнтный ему). Задача имеет 1 решение.

- $BC = BH$ и $BN > BH$: точка $C$ совпадает с $H$. Выбор одной из двух точек для $N$ однозначно определяет треугольник. Задача имеет 1 решение.

— Если $BN = BH$ и $BC = BH$: точки $N$ и $C$ совпадают с $H$. Тогда и точка $A$ совпадает с $H$, треугольник вырождается в точку. В этом случае невырожденных решений нет.

Ответ: Построение треугольника возможно, если длины медианы $BN$ и стороны $BC$ не меньше длины высоты $BH$. Алгоритм построения приведен выше. В зависимости от соотношения данных длин задача может иметь 1 или 2 неконгруэнтных решения, или не иметь решений вовсе (если $BN < BH$ или $BC < BH$, или в вырожденном случае $BN=BC=BH$).