Номер 5.23, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.23*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Пусть нам даны отрезок длины $c$, угол $\alpha$ и отрезок длины $s$, где $s$ — это сумма двух других сторон треугольника. Требуется построить треугольник $ABC$ такой, что одна из его сторон равна $c$, прилежащий к ней угол равен $\alpha$, а сумма двух других сторон равна $s$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AB = c$, $\angle BAC = \alpha$ и $AC + BC = s$.

Продолжим сторону $AC$ за точку $C$ и на этом продолжении (на луче $AC$) отложим отрезок $CD$, равный по длине стороне $BC$. В результате получим точку $D$ такую, что $AD = AC + CD = AC + BC = s$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как по построению $CD = BC$, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $BD$.

В равнобедренном треугольнике точка $C$ (вершина) равноудалена от точек $B$ и $D$ (концов основания). Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Следовательно, вершина $C$ искомого треугольника должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

Кроме того, точка $C$ по условию лежит на луче, выходящем из точки $A$ под углом $\alpha$ к стороне $AB$. Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения этого луча и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$. Это позволяет нам сформулировать план построения.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный данной стороне $c$.
2. От луча $AB$ строим угол, равный данному углу $\alpha$. Получаем луч $AK$.
3. На луче $AK$ от его начала, точки $A$, откладываем отрезок $AD$, равный данной сумме сторон $s$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком. Получаем вспомогательный треугольник $ABD$.
5. Строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $BD$.
6. Находим точку пересечения прямой $m$ и отрезка $AD$. Эта точка является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ равна $c$ по построению (шаг 1).
• Угол $\angle BAC$ (он же $\angle BAK$) равен $\alpha$ по построению (шаг 2).
• Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$ по построению (шаг 6). Это означает, что она равноудалена от точек $B$ и $D$, то есть $CB = CD$.
• Точка $C$ также лежит на отрезке $AD$ (шаг 6), поэтому $AD = AC + CD$.
• Так как $CB = CD$, мы можем заменить в предыдущем равенстве $CD$ на $CB$: $AD = AC + CB$.
• По построению (шаг 3), длина отрезка $AD$ равна $s$.
• Следовательно, $AC + CB = s$.

Таким образом, все три условия задачи выполнены: сторона $AB=c$, прилежащий угол $\angle BAC=\alpha$ и сумма двух других сторон $AC+BC=s$. Построение верное.

Исследование

Задача имеет решение, если все шаги построения выполнимы и приводят к единственному результату.

1. Построение вспомогательного треугольника $ABD$ по двум сторонам ($AB=c$, $AD=s$) и углу между ними ($\angle A = \alpha$) всегда возможно и однозначно, если $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

2. Серединный перпендикуляр $m$ к стороне $BD$ и прямая $AD$ (содержащая луч $AK$) не могут быть параллельны, так как $B$ не лежит на прямой $AD$ (поскольку $\alpha$ не $0^\circ$ и не $180^\circ$). Следовательно, они всегда пересекаются в единственной точке $C$.

3. Для того чтобы полученный треугольник $ABC$ был невырожденным, должно выполняться неравенство треугольника: $AC+BC > AB$, то есть $s>c$. Если $s \le c$, треугольник не существует.

4. Если $s>c$, то в треугольнике $ABD$ против большей стороны $AD$ лежит больший угол, то есть $\angle ABD > \angle ADB$. Поскольку $\angle ABD + \angle ADB = 180^\circ - \alpha$, то угол $\angle ADB$ всегда будет острым. Это гарантирует, что серединный перпендикуляр к $BD$ пересечет именно отрезок $AD$, а не его продолжение.

Следовательно, при выполнении естественных условий $s > c$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Для построения треугольника необходимо выполнить следующую последовательность действий: 1) построить угол, равный заданному $\alpha$, с вершиной в точке $A$; 2) на одной стороне угла отложить отрезок $AB$, равный заданной стороне $c$; 3) на другой стороне угла отложить отрезок $AD$, равный заданной сумме двух других сторон $s$; 4) соединить точки $B$ и $D$; 5) построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$; 6) точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $AD$ будет третьей вершиной искомого треугольника, точкой $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.