Номер 5.17, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. Точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $a$. Перпендикуляры $AP$ и $BN$ к прямой $a$ равны. Отрезки $AB$ и $PN$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что точка $K$ делит каждый из них пополам.

Дано:

Точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $a$.

$AP \perp a$, $BN \perp a$ (где точки $P$ и $N$ лежат на прямой $a$).

$AP = BN$.

Отрезки $AB$ и $PN$ пересекаются в точке $K$.

Доказать:

Точка $K$ делит отрезки $AB$ и $PN$ пополам, то есть $AK = KB$ и $PK = KN$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $ \triangle APK $ и $ \triangle BNK $.

Поскольку по условию $AP \perp a$ и отрезок $PN$ лежит на прямой $a$, то $AP$ перпендикулярен $PN$. Следовательно, угол $\angle APK$ является прямым, $\angle APK = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ \triangle APK $ — прямоугольный.

Аналогично, так как $BN \perp a$ и отрезок $PN$ лежит на прямой $a$, то $BN$ перпендикулярен $PN$. Следовательно, угол $\angle BNK$ также является прямым, $\angle BNK = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ \triangle BNK $ — тоже прямоугольный.

Сравним эти прямоугольные треугольники:

1. Катет $AP = BN$ по условию задачи.

2. Острый угол $\angle AKP = \angle BKN$ как вертикальные углы, образованные при пересечении отрезков $AB$ и $PN$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $ \triangle APK $ и $ \triangle BNK $ равны по катету и противолежащему острому углу (катет $AP$ равен катету $BN$, и противолежащий им острый угол $\angle AKP$ равен противолежащему острому углу $\angle BKN$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон:

- Гипотенуза $AK$ равна гипотенузе $BK$.

- Катет $PK$ равен катету $NK$.

Поскольку $AK = KB$ и $PK = KN$, точка $K$ является серединой отрезков $AB$ и $PN$, то есть делит каждый из них пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что точка К делит каждый из отрезков AB и PN пополам, доказано.