Номер 5.22, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.22. В треугольнике $ABC$ высота $AA_1$ не меньше стороны $BC$, а высота $BB_1$ не меньше стороны $AC$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный и прямоугольный.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ стандартным образом: $BC = a$, $AC = b$. Пусть $h_a = AA_1$ — высота, опущенная на сторону $BC$, а $h_b = BB_1$ — высота, опущенная на сторону $AC$. Угол при вершине $C$ обозначим как $\angle C$.

Из условия задачи имеем два неравенства:

1. $h_a \ge a$
2. $h_b \ge b$

Доказательство, что треугольник $ABC$ является равнобедренным

Высота $h_a = AA_1$ является катетом в прямоугольном треугольнике $ACA_1$, в котором гипотенузой является сторона $AC = b$. В любом прямоугольном треугольнике катет не может быть длиннее гипотенузы, следовательно, $h_a \le b$.

Объединяя это свойство с первым условием задачи ($h_a \ge a$), получаем следующую цепочку неравенств: $b \ge h_a \ge a$. Из этого напрямую следует, что $b \ge a$.

Проведем аналогичные рассуждения для высоты $h_b$. Высота $h_b = BB_1$ является катетом в прямоугольном треугольнике $BCB_1$ с гипотенузой $BC = a$. Таким образом, $h_b \le a$.

Объединяя это свойство со вторым условием задачи ($h_b \ge b$), получаем: $a \ge h_b \ge b$. Из этого следует, что $a \ge b$.

Мы получили систему из двух неравенств для сторон $a$ и $b$: $$ \begin{cases} b \ge a \\ a \ge b \end{cases} $$ Эта система имеет единственное решение: $a = b$. Равенство сторон $BC = AC$ означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Доказательство, что треугольник $ABC$ является прямоугольным

Теперь воспользуемся формулой, связывающей высоту треугольника с его стороной и углом. Высота $h_a$ может быть выражена через сторону $b$ и синус угла $\angle C$: $h_a = b \sin(\angle C)$.

Подставим это выражение в исходное условие $h_a \ge a$: $$b \sin(\angle C) \ge a$$

Так как мы уже доказали, что $a = b$, мы можем заменить $b$ на $a$ в полученном неравенстве: $$a \sin(\angle C) \ge a$$

Длина стороны $a$ является строго положительной величиной ($a > 0$), поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства: $$\sin(\angle C) \ge 1$$

В то же время, из основного свойства функции синуса известно, что её значение для любого угла не может превышать 1, то есть $\sin(\angle C) \le 1$.

Единственный способ удовлетворить обоим условиям, $\sin(\angle C) \ge 1$ и $\sin(\angle C) \le 1$, — это принять равенство $\sin(\angle C) = 1$.

Для угла $\angle C$ треугольника, который находится в диапазоне $0^\circ < \angle C < 180^\circ$, равенство $\sin(\angle C) = 1$ выполняется только при $\angle C = 90^\circ$.

Это означает, что угол при вершине $C$ в треугольнике $ABC$ прямой, и, следовательно, треугольник является прямоугольным.

Таким образом, доказано, что треугольник $ABC$ является равнобедренным и прямоугольным.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $ABC$ является равнобедренным (со сторонами $AC=BC$) и прямоугольным (с прямым углом $\angle C = 90^\circ$).