Номер 5.33, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.33. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

Пусть заданы периметр $P$ и два угла $\alpha$ и $\beta$. Требуется построить треугольник $ABC$, у которого периметр равен $P$, а два угла равны $\alpha$ и $\beta$ (например, $\angle B = \alpha$ и $\angle C = \beta$).

Идея построения заключается в том, чтобы сначала построить вспомогательный треугольник, одна из сторон которого равна периметру искомого треугольника, а углы при этой стороне - половинам заданных углов.

Построение

1. Начертим отрезок $DE$, длина которого равна заданному периметру $P$.
2. Построим биссектрисы заданных углов $\alpha$ и $\beta$, чтобы получить углы $\alpha/2$ и $\beta/2$.
3. От луча $DE$ в одной полуплоскости отложим угол, равный $\alpha/2$, с вершиной в точке $D$. Построим луч $DG$.
4. От луча $ED$ в той же полуплоскости отложим угол, равный $\beta/2$, с вершиной в точке $E$. Построим луч $EH$.
5. Лучи $DG$ и $EH$ пересекутся в некоторой точке $A$. Эта точка будет первой вершиной искомого треугольника.
6. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $DE$ будет второй вершиной — точкой $B$.
7. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $DE$ будет третьей вершиной — точкой $C$.
8. Соединим точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

1. Периметр. По построению точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, следовательно, $AB = DB$. Аналогично, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$, следовательно, $AC = CE$. Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + BC + AC$. Выполним замену: $P_{ABC} = DB + BC + CE$. Так как точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $DE$, то $DB + BC + CE = DE$. Длина отрезка $DE$ по построению равна заданному периметру $P$. Таким образом, периметр $\triangle ABC$ равен $P$.

2. Углы. Рассмотрим $\triangle ADB$. Он является равнобедренным ($AB = DB$), поэтому углы при его основании равны: $\angle DAB = \angle D = \alpha/2$. Угол $\angle ABC$ является внешним углом для $\triangle ADB$ при вершине $B$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle D + \angle DAB = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$. Аналогично, $\triangle ACE$ является равнобедренным ($AC = CE$), поэтому $\angle CAE = \angle E = \beta/2$. Угол $\angle ACB$ является внешним для $\triangle ACE$ при вершине $C$. Следовательно, $\angle ACB = \angle E + \angle CAE = \beta/2 + \beta/2 = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет заданный периметр $P$ и два угла $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: Для построения треугольника необходимо выполнить следующие шаги: 1) Построить отрезок $DE$, равный заданному периметру $P$. 2) При концах отрезка $D$ и $E$ построить углы, равные половинам заданных углов ($\alpha/2$ и $\beta/2$), и найти точку их пересечения $A$. 3) Построить серединные перпендикуляры к отрезкам $AD$ и $AE$. Точки их пересечения с отрезком $DE$ дадут искомые вершины $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.