Номер 5.7, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. На рисунке 5.3 $AB = BC$, $ED = AE$, $\angle C = 80^\circ$, $\angle DAC = 40^\circ$. Докажите, что прямые $ED$ и $AC$ параллельны. Найдите $\angle BED$.

Рис. 5.3

Докажите, что прямые ED и AC параллельны

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию задачи $AB = BC$, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$. Так как по условию $\angle C = 80^{\circ}$, то $\angle BAC = \angle BCA = 80^{\circ}$.

2. Угол $\angle BAC$ можно представить как сумму углов $\angle BAD$ (или $\angle EAD$, так как точка $E$ лежит на отрезке $AB$) и $\angle DAC$. То есть, $\angle BAC = \angle EAD + \angle DAC$.

3. Используя известные значения, найдем $\angle EAD$:

$\angle EAD = \angle BAC - \angle DAC = 80^{\circ} - 40^{\circ} = 40^{\circ}$.

4. Теперь рассмотрим $\triangle ADE$. По условию $ED = AE$, следовательно, $\triangle ADE$ — равнобедренный. Углы, противолежащие равным сторонам, равны. Стороне $ED$ противолежит угол $\angle EAD$, а стороне $AE$ — угол $\angle ADE$. Таким образом, $\angle ADE = \angle EAD$.

5. Поскольку мы вычислили, что $\angle EAD = 40^{\circ}$, то и $\angle ADE = 40^{\circ}$.

6. Сравним углы $\angle ADE$ и $\angle DAC$. Мы нашли, что $\angle ADE = 40^{\circ}$, и по условию дано, что $\angle DAC = 40^{\circ}$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $ED$ и $AC$ и секущей $AD$.

7. Так как накрест лежащие углы равны ($\angle ADE = \angle DAC$), то по признаку параллельности прямых делаем вывод, что прямые $ED$ и $AC$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Найдите ∠BED

1. Из предыдущего пункта мы доказали, что прямые $ED$ и $AC$ параллельны ($ED \parallel AC$).

2. Рассмотрим эти параллельные прямые и прямую $AB$ в качестве секущей. Углы $\angle BED$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами.

3. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны, следовательно, $\angle BED = \angle BAC$.

4. Из первой части решения мы знаем, что $\angle BAC = 80^{\circ}$.

5. Таким образом, $\angle BED = 80^{\circ}$.

Ответ: $\angle BED = 80^{\circ}$.