Номер 5.4, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.4. На рисунке 5.2 $KP$ и $ME$ – высоты треугольника $KLM$. При помощи только линейки постройте высоту $LX$ этого треугольника. Найдите угол $XLM$, если $KP = LX$, $MP = MX$ и $\angle PKM = 27^\circ$.

Рис. 5.2

При помощи только линейки постройте высоту LX этого треугольника.

Три высоты любого треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. В треугольнике $KLM$ даны две высоты: $KP$ (из вершины $K$) и $ME$ (из вершины $M$). Это означает, что третья высота $LX$ (из вершины $L$ на сторону $KM$) также должна пройти через точку пересечения высот $KP$ и $ME$. Для построения высоты $LX$ необходимо с помощью линейки продлить отрезки $KP$ и $ME$ до их пересечения в точке, которую можно обозначить $H$ (ортоцентр), а затем провести прямую через вершину $L$ и точку $H$. Точка пересечения этой прямой со стороной $KM$ и будет являться основанием высоты $X$, а отрезок $LX$ — искомой высотой.

Ответ: Высота $LX$ строится как отрезок прямой, проходящей через вершину $L$ и точку пересечения прямых, содержащих высоты $KP$ и $ME$, с основанием на прямой $KM$.

Найдите угол XLM, если KP = LX, MP = MX и ∠PKM = 27°.

Рассмотрим треугольники $\triangle KPM$ и $\triangle LXM$. По условию, $KP$ является высотой, опущенной на прямую $LM$, следовательно, $\triangle KPM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $P$ ($\angle KPM = 90^\circ$). По теореме Пифагора для этого треугольника имеем: $KM^2 = KP^2 + MP^2$.

Аналогично, $LX$ — высота, опущенная на прямую $KM$, поэтому $\triangle LXM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $X$ ($\angle LXM = 90^\circ$). Для него по теореме Пифагора справедливо равенство: $LM^2 = LX^2 + MX^2$.

В условии задачи даны равенства $KP = LX$ и $MP = MX$. Подставим их в выражение для квадрата стороны $LM$: $LM^2 = (KP)^2 + (MP)^2$.

Сравнивая полученное выражение с выражением для $KM^2$, мы видим, что $KM^2 = LM^2$, а значит, длины сторон равны: $KM = LM$. Это означает, что треугольник $KLM$ является равнобедренным с основанием $KL$.

Теперь найдем величину угла $\angle KML$. В прямоугольном треугольнике $KPM$ сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle KMP + \angle PKM = 90^\circ$. Угол $\angle KMP$ совпадает с углом $\angle KML$ треугольника $KLM$. По условию дано, что $\angle PKM = 27^\circ$. Отсюда находим: $\angle KML = 90^\circ - \angle PKM = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $LXM$. Сумма его острых углов также равна $90^\circ$: $\angle XLM + \angle LMX = 90^\circ$. Угол $\angle LMX$ — это тот же самый угол, что и $\angle KML$. Таким образом, мы можем найти искомый угол: $\angle XLM = 90^\circ - \angle KML = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$.

Ответ: $27^\circ$.