Номер 4.60, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.60. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.

Для того чтобы разделить данный отрезок на четыре равные части, необходимо последовательно применить метод деления отрезка пополам. Сначала мы делим исходный отрезок на две равные части, а затем каждую из полученных половин — еще раз пополам. Весь процесс выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Пусть нам дан отрезок $AB$.

Порядок построения:

1. Деление отрезка $AB$ пополам.
   • Установим раствор циркуля на расстояние $R_1$, которое заведомо больше половины длины отрезка $AB$ (например, можно взять расстояние, равное длине всего отрезка $AB$).
   • Из точек $A$ и $B$, как из центров, проведём две дуги окружности этим радиусом так, чтобы они пересеклись в двух точках с разных сторон от отрезка. Назовем эти точки $P_1$ и $P_2$.
   • С помощью линейки соединим точки $P_1$ и $P_2$ прямой.
   • Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ является его серединой. Обозначим эту точку $M$. Таким образом, мы разделили отрезок $AB$ на две равные части: $AM = MB$.
2. Деление отрезка $AM$ пополам.
   • Теперь повторим ту же процедуру для отрезка $AM$. Установим раствор циркуля на расстояние $R_2$, большее половины длины отрезка $AM$.
   • Проведём две пересекающиеся дуги равного радиуса $R_2$ из центров в точках $A$ и $M$.
   • Через точки пересечения этих дуг проведём прямую. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AM$ будет его серединой. Обозначим её $N$. Мы получили, что $AN = NM = \frac{1}{2}AM$.
3. Деление отрезка $MB$ пополам.
   • Аналогично найдём середину отрезка $MB$. Проведём две пересекающиеся дуги равного радиуса $R_3 > \frac{1}{2}MB$ (можно взять $R_3=R_2$) из центров в точках $M$ и $B$.
   • Через точки пересечения этих дуг проведём прямую. Точка пересечения этой прямой с отрезком $MB$ будет его серединой. Обозначим эту точку $K$. Мы получили, что $MK = KB = \frac{1}{2}MB$.

В результате выполненных построений мы получили на отрезке $AB$ три точки — $N$, $M$ и $K$. Эти точки делят исходный отрезок $AB$ на четыре равные части, так как $AN = NM = MK = KB = \frac{1}{4}AB$.

Ответ: Описанный алгоритм, состоящий из трех последовательных построений серединных перпендикуляров (сначала для всего отрезка, а затем для двух его половин), позволяет разделить данный отрезок на четыре равные части с помощью циркуля и линейки.