Проверь себя!, страница 140 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько окружностей могут иметь центром данную точку?

А. Ни одной.

В. Одна.

С. Две.

D. Бесконечно много.

2. Сколько окружностей можно провести через одну точку?

А. Одну.

В. Две.

С. Три.

D. Бесконечно много.

3. Сколько окружностей можно провести через две точки?

А. Ни одной.

В. Одну.

С. Две.

D. Бесконечно много.

4. Какому соотношению удовлетворяют точки $\text{M}$, лежащие вне круга с центром в точке $\text{O}$ и радиусом $\text{R}$?

A. $OM \ge R$

B. $OM > R$

C. $OM \le R$

D. $OM < R$

5. Какому соотношению удовлетворяют точки $\text{K}$, лежащие внутри круга с центром в точке $\text{O}$ и радиусом $\text{R}$?

A. $OK < R$

B. $OK \ge R$

C. $OK \le R$

D. $OK > R$

6. Диаметр окружности равен 10 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 3 см?

А. Не пересекает.

С. Касается.

В. Пересекает.

D. Нельзя определить.

7. Диаметр окружности равен 8 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 4 см?

А. Не пересекает.

С. Касается.

В. Пересекает.

D. Нельзя определить.

8. Диаметр окружности равен 6 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 5 см?

А. Не имеет с окружностью ни одной общей точки.

В. Пересекает.

С. Касается.

D. Нельзя определить.

9. Радиусы двух окружностей равны 10 см и 15 см. Расстояние между их центрами равно 20 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга?

А. Не имеют общих точек.

В. Пересекаются.

С. Касаются внутренним образом.

D. Касаются внешним образом.

10. Радиусы двух окружностей равны 6 см и 8 см. Расстояние между их центрами равно 14 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга?

А. Не имеют общих точек.

В. Пересекаются.

С. Касаются внутренним образом.

D. Касаются внешним образом.

11. Радиусы двух окружностей равны 10 см и 20 см. Расстояние между их центрами равно 10 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга?

А. Не имеют общих точек.

В. Пересекаются.

С. Касаются внутренним образом.

D. Касаются внешним образом.

12. Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внешним образом?

A. $O_1O_2 < R_1 + R_2$

B. $O_1O_2 = R_1 + R_2$

C. $O_1O_2 > R_1 + R_2$

D. $O_1O_2 = |R_1 - R_2|$

13. Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внутренним образом?

A. $O_1O_2 = |R_1 - R_2|$

B. $O_1O_2 > |R_1 - R_2|$

C. $O_1O_2 < |R_1 - R_2|$

D. $O_1O_2 = R_1 + R_2$

14. Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся, как 2 : 3. Найдите их диаметры, если ширина соответствующего кольца равна 5 см?

А. 2 см и 3 см.

С. 10 см и 15 см.

В. 15 см и 20 см.

D. 30 см и 20 см.

15. Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности. Найдите угол между касательными:

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 120°.

16. Из данной на окружности точки проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу окружности. Найдите угол между ними:

A. 30°.

B. 45°.

C. 90°.

D. 120°.

17. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус данной окружности:

А. 10 см.

В. 20 см.

С. 30 см.

D. 40 см.

18. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус этой окружности:

А. 30 см.

В. 40 см.

С. 50 см.

D. 80 см.

19. Касательные, проведенные из данной точки к окружности радиуса 8 см, образуют между собой прямой угол. Найдите отрезки этих касательных (заключены между данной точкой и точками касания):

А. 4 см.

В. 8 см.

С. 12 см.

D. 16 см.

20. Касательные, проведенные из данной точки к окружности, образуют между собой угол в 60°. Расстояние от данной точки до центра окружности равно 24 см. Найдите радиус окружности:

А. 6 см.

В. 8 см.

С. 12 см.

D. 24 см.

1.Окружность определяется центром и радиусом. Если центр зафиксирован, мы можем выбрать любое положительное число в качестве радиуса. Так как существует бесконечно много положительных чисел, можно построить бесконечно много окружностей с одним и тем же центром.

Ответ: D. Бесконечно много.

2.Через одну точку можно провести бесконечно много окружностей. Центр такой окружности может находиться в любом месте, а радиус будет равен расстоянию от этого центра до данной точки.

Ответ: D. Бесконечно много.

3.Центр любой окружности, проходящей через две точки A и B, должен быть равноудален от этих точек. Множество всех таких центров образует прямую — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Так как на прямой бесконечно много точек, можно провести бесконечно много окружностей.

Ответ: D. Бесконечно много.

4.Точки, лежащие вне круга, — это точки, расстояние от которых до центра круга больше, чем его радиус. Если M — такая точка, O — центр, а R — радиус, то расстояние OM больше R.

$OM > R$

Ответ: B. OM > R.

5.Точки, лежащие внутри круга, — это точки, расстояние от которых до центра круга меньше, чем его радиус. Если K — такая точка, O — центр, а R — радиус, то расстояние OK меньше R.

$OK < R$

Ответ: C. OK < R.

6.Диаметр окружности $d = 10$ см, значит, ее радиус $R = d/2 = 5$ см. Расстояние от центра до прямой $h = 3$ см. Поскольку расстояние до прямой меньше радиуса ($h < R$, так как $3 < 5$), прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: В. Пересекает.

7.Диаметр окружности $d = 8$ см, значит, ее радиус $R = d/2 = 4$ см. Расстояние от центра до прямой $h = 4$ см. Поскольку расстояние до прямой равно радиусу ($h = R$), прямая касается окружности в одной точке.

Ответ: C. Касается.

8.Диаметр окружности $d = 6$ см, значит, ее радиус $R = d/2 = 3$ см. Расстояние от центра до прямой $h = 5$ см. Поскольку расстояние до прямой больше радиуса ($h > R$, так как $5 > 3$), прямая не имеет общих точек с окружностью.

Ответ: А. Не имеет с окружностью ни одной общей точки.

9.Радиусы окружностей $R_1 = 10$ см и $R_2 = 15$ см. Расстояние между центрами $d = 20$ см. Сумма радиусов $R_1 + R_2 = 10 + 15 = 25$ см. Разность радиусов $|R_1 - R_2| = |10 - 15| = 5$ см. Так как $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$ ($5 < 20 < 25$), окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: В. Пересекаются.

10.Радиусы окружностей $R_1 = 6$ см и $R_2 = 8$ см. Расстояние между центрами $d = 14$ см. Сумма радиусов $R_1 + R_2 = 6 + 8 = 14$ см. Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются внешним образом.

Ответ: D. Касаются внешним образом.

11.Радиусы окружностей $R_1 = 10$ см и $R_2 = 20$ см. Расстояние между центрами $d = 10$ см. Разность радиусов $|R_2 - R_1| = |20 - 10| = 10$ см. Так как расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |R_2 - R_1|$), окружности касаются внутренним образом.

Ответ: С. Касаются внутренним образом.

12.При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами ($O_1O_2$) равно сумме их радиусов ($R_1 + R_2$).

$O_1O_2 = R_1 + R_2$

Ответ: B. $O_1O_2 = R_1 + R_2$.

13.При внутреннем касании двух окружностей расстояние между их центрами ($O_1O_2$) равно модулю разности их радиусов ($|R_1 - R_2|$).

$O_1O_2 = |R_1 - R_2|$

Ответ: A. $O_1O_2 = |R_1 - R_2|$.

14.Пусть радиусы окружностей $R_1$ и $R_2$, причем $R_2 > R_1$. Их отношение $R_1:R_2 = 2:3$. Можно записать $R_1 = 2k$ и $R_2 = 3k$. Ширина кольца — это разность радиусов: $R_2 - R_1 = 5$ см. Подставляя, получаем $3k - 2k = 5$, откуда $k=5$. Тогда радиусы равны $R_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см и $R_2 = 3 \cdot 5 = 15$ см. Диаметры равны $d_1 = 2R_1 = 20$ см и $d_2 = 2R_2 = 30$ см.

Ответ: D. 30 см и 20 см.

15.Пусть P — точка вне окружности, O — центр, R — радиус. Кратчайшее расстояние от P до окружности равно $PO - R$. По условию, $PO - R = R$, откуда $PO = 2R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой P, центром O и точкой касания A. В этом треугольнике $POA$ гипотенуза $PO = 2R$, а катет $OA = R$. Синус угла $APO$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\angle APO) = \frac{OA}{PO} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\angle APO = 30^{\circ}$. Угол между касательными $APB$ в два раза больше угла $APO$, так как $PO$ — биссектриса. $ \angle APB = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Ответ: C. 60°.

16.Пусть из точки P на окружности проведены хорды PA и PB, равные радиусу R. Рассмотрим треугольники $POA$ и $POB$, где O — центр окружности. В $\triangle POA$ все стороны равны R ($PO=OA=PA=R$), значит, он равносторонний и $\angle POA = 60^{\circ}$. Аналогично, $\triangle POB$ равносторонний и $\angle POB = 60^{\circ}$. Четырехугольник $PAOB$ — ромб, так как все его стороны равны R. Угол между хордами — это $\angle APB$. В ромбе $PAOB$ углы $\angle APB$ и $\angle AOB$ — противоположные, а значит, равны. $\angle AOB = \angle POA + \angle POB = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Таким образом, $\angle APB = 120^{\circ}$.

Ответ: D. 120°.

17.Пусть P — точка вне окружности, O — её центр, R — радиус. Наибольшее расстояние от P до окружности равно $PO + R$, а наименьшее — $PO - R$. Имеем систему уравнений:$PO + R = 50$

$PO - R = 30$

Складывая уравнения, получаем $2 \cdot PO = 80$, откуда $PO = 40$ см. Подставляя в первое уравнение, находим $40 + R = 50$, значит, $R = 10$ см.

Ответ: А. 10 см.

18.Пусть P — точка внутри окружности, O — её центр, R — радиус. Наибольшее расстояние от P до окружности равно $R + PO$, а наименьшее — $R - PO$. Имеем систему уравнений:$R + PO = 50$

$R - PO = 30$

Складывая уравнения, получаем $2R = 80$, откуда $R = 40$ см.

Ответ: В. 40 см.

19.Пусть касательные из точки P касаются окружности с центром O в точках A и B. Угол между касательными $\angle APB = 90^{\circ}$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: $\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ}$. В четырехугольнике $PAOB$ сумма углов равна $360^{\circ}$. Тогда $\angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Так как все углы четырехугольника прямые, это прямоугольник. А так как у него смежные стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы, то $PAOB$ — квадрат. Следовательно, длина отрезка касательной $PA$ равна радиусу $R$. $PA = R = 8$ см.

Ответ: В. 8 см.

20.Пусть касательные из точки P касаются окружности с центром O в точках A и B. Угол между ними $\angle APB = 60^{\circ}$. Расстояние $PO = 24$ см. Линия $PO$ является биссектрисой угла $APB$, поэтому $\angle APO = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $PAO$ ($\angle OAP = 90^{\circ}$). В нем катет $OA$ (радиус $R$) лежит напротив угла в $30^{\circ}$. Следовательно, он равен половине гипотенузы $PO$.

$R = OA = \frac{1}{2} PO = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Ответ: С. 12 см.