Номер 23.9, страница 138 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.9. По данному рисунку 23.10 объясните, как построить треугольник ABC по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и высоте $CH = h$.

Рис. 23.10

Данная задача на построение треугольника решается с помощью метода геометрических мест точек, который позволяет последовательно определить положение вершин треугольника на плоскости, исходя из заданных условий.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник ABC уже построен. По условию, нам известны длины двух сторон AB = c, AC = b и высота CH = h, опущенная из вершины C на прямую, содержащую сторону AB. Из этого следует, что вершина C должна удовлетворять двум условиям: 1. Расстояние от точки C до прямой AB должно быть равно h. Геометрическим местом точек, удаленных от некоторой прямой на заданное расстояние, является пара прямых, параллельных данной. 2. Расстояние от точки C до точки A должно быть равно b. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точки A, является окружность с центром в A и радиусом b. Таким образом, точка C должна лежать на пересечении этих двух геометрических мест. В свою очередь, точка B должна лежать на прямой, проходящей через точки A и H, на расстоянии c от точки A. На основе этого анализа можно составить план построения, который и проиллюстрирован на рисунке 23.10, где построение выполняется в обратном порядке: сначала находятся параллельные прямые, затем точка C, потом A, и наконец B.

Построение

Следуя логике, представленной на рисунке, выполним следующие шаги построения с помощью циркуля и линейки: 1. Построим произвольную прямую l. 2. Построим прямую m, параллельную прямой l и находящуюся на расстоянии h от нее. 3. На прямой m выберем произвольную точку C, которая будет одной из вершин искомого треугольника. 4. Построим окружность с центром в точке C и радиусом, равным отрезку b. 5. В случае если $b \ge h$, эта окружность пересечет прямую l (или коснется ее). Выберем одну из точек пересечения и обозначим ее как вершину A. 6. Построим окружность с центром в точке A и радиусом, равным отрезку c. 7. Эта окружность пересечет прямую l в двух точках (на рисунке 23.10 они условно показаны как $B_1$ и $B_2$). Выберем любую из этих точек в качестве вершины B. 8. Соединим отрезками точки A, B и C. Полученный треугольник ABC является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник ABC удовлетворяет всем заданным условиям. Сторона AC равна b, так как точка A была получена как точка пересечения прямой l и окружности с центром в C и радиусом b. Сторона AB равна c, так как точка B была получена как точка пересечения прямой l и окружности с центром в A и радиусом c. Высота, опущенная из вершины C на прямую AB (прямую l), равна h, так как точка C лежит на прямой m, которая по построению параллельна прямой l и находится на расстоянии h от нее. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Исследование

Рассмотрим, при каких условиях задача имеет решение. 1. Если $b < h$, то окружность с центром в C и радиусом b не пересечет прямую l, так как расстояние от центра окружности до прямой (равное h) больше ее радиуса. В этом случае задача не имеет решений. Геометрически это означает, что наклонная AC не может быть короче перпендикуляра CH. 2. Если $b = h$, окружность коснется прямой l в одной точке. Эта точка будет вершиной A. В этом случае треугольник ABC будет прямоугольным ($ \angle A = 90^\circ $). Для такой вершины A можно построить две симметричные относительно A вершины B. Оба получаемых треугольника будут конгруэнтны. Таким образом, существует одно решение (с точностью до конгруэнтности). 3. Если $b > h$, окружность пересечет прямую l в двух точках, симметричных относительно перпендикуляра, опущенного из C на l. Это дает два возможных положения для вершины A. Для каждого из этих положений можно найти два положения для вершины B. Анализ показывает, что в общем случае это приводит к двум неконгруэнтным треугольникам.

Ответ: Для построения треугольника необходимо выполнить следующие действия: построить две параллельные прямые на расстоянии h; на одной из них выбрать точку C; с помощью окружности радиуса b с центром в C найти на второй прямой точку A; затем с помощью окружности радиуса c с центром в A найти на той же прямой точку B. Соединение точек A, B, и C дает искомый треугольник при условии, что $b \ge h$.