Номер 23.3, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.3. Через данную точку, принадлежащую данной прямой, проведите прямую, перпендикулярную этой прямой.

23.3. Это классическая задача на построение с помощью циркуля и линейки. Пусть дана прямая a и точка M, которая лежит на этой прямой ($M \in a$). Необходимо построить прямую b, которая проходит через точку M и перпендикулярна прямой a ($b \perp a$).

Алгоритм построения:

1. Устанавливаем острие циркуля в точку M. Произвольным, но фиксированным раствором циркуля (радиусом r) проводим окружность или дуги, пересекающие прямую a в двух точках. Обозначим эти точки как A и B. Так как M — центр окружности, а A и B лежат на ней, то отрезки MA и MB равны как радиусы. Следовательно, точка M является серединой отрезка AB ($MA = MB = r$).

2. Из точек A и B, как из центров, проводим две дуги окружностей одинакового радиуса R. Этот радиус R должен быть больше, чем расстояние от центра до точки M, то есть $R > r$. Удобно взять радиус R, равный длине отрезка AB. Дуги пересекутся в двух точках, по одной с каждой стороны от прямой a. Выберем любую из этих точек пересечения и назовем её C.

3. С помощью линейки проводим прямую через точку C и исходную точку M. Эта прямая, которую мы обозначим b, и будет искомым перпендикуляром к прямой a.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ΔACB$. По построению, стороны $AC$ и $BC$ равны, так как они были построены как радиусы окружностей с одинаковым радиусом R ($AC = BC = R$). Следовательно, треугольник $ΔACB$ является равнобедренным с основанием AB.

Отрезок CM соединяет вершину C с точкой M на основании. Мы знаем, что точка M — середина основания AB (из шага 1 построения). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой.

Таким образом, отрезок CM перпендикулярен основанию AB, то есть $CM \perp AB$.

Поскольку построенная прямая b содержит отрезок CM, а данная прямая a содержит отрезок AB, то прямая b перпендикулярна прямой a. Построение верно.

Ответ: Искомая прямая строится как геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек A и B, симметрично расположенных на исходной прямой относительно данной точки M. Для этого с помощью циркуля находятся точки A и B на прямой a так, что $MA = MB$, а затем точка C, такая что $AC = BC$. Прямая, проходящая через точки M и C, перпендикулярна прямой a.