Номер 22.15, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.15. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, стороны которого равны 3 см, 4 см, 5 см.

Пусть даны стороны треугольника $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

Для начала проверим, является ли данный треугольник прямоугольным. Воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Если сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то треугольник прямоугольный. В нашем случае, наибольшая сторона $c=5$ см является потенциальной гипотенузой, а стороны $a=3$ см и $b=4$ см — катетами.

Вычислим сумму квадратов катетов: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Вычислим квадрат гипотенузы: $c^2 = 5^2 = 25$.

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по специальной формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Подставим известные значения длин сторон в эту формулу: $r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.