Номер 22.9, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.9. Какой вид имеет треугольник, если центр описанной около него окружности принадлежит одной из его медиан?

22.9. Пусть в треугольнике $ABC$ центр $O$ описанной окружности принадлежит медиане $BM$, проведенной к стороне $AC$.

По определению, центр описанной окружности $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Следовательно, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ проходит через ее середину, точку $M$, и перпендикулярен ей. Медиана $BM$ также проходит через точку $M$. Таким образом, и прямая, содержащая медиану $BM$, и серединный перпендикуляр к стороне $AC$ проходят через точку $M$. По условию, центр $O$ также лежит на обеих этих прямых. Из этого следует два возможных случая.

Случай 1: Прямая, содержащая медиану $BM$, и серединный перпендикуляр к $AC$ совпадают.

В этом случае медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$, то есть является также и высотой треугольника. Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. В них: • $AM = MC$ (поскольку $BM$ — медиана);

• $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$ (поскольку $BM$ — высота);

• сторона $BM$ — общая.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle CBM$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = BC$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Случай 2: Прямая, содержащая медиану $BM$, и серединный перпендикуляр к $AC$ являются различными прямыми.

Две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. Поскольку обе прямые проходят через точки $M$ и $O$, эти точки должны совпадать, то есть $O = M$. Это означает, что центр описанной окружности совпадает с серединой стороны $AC$. В таком случае сторона $AC$ является диаметром описанной окружности. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Вершина $B$ лежит на окружности, а угол $\angle ABC$ опирается на диаметр $AC$. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Итак, если центр описанной окружности принадлежит одной из медиан, то треугольник является либо равнобедренным (и медиана проведена к основанию), либо прямоугольным (и медиана проведена из вершины прямого угла).

Ответ: Треугольник является равнобедренным или прямоугольным. Более точно: он либо равнобедренный, и медиана, содержащая центр описанной окружности, проведена к основанию; либо он прямоугольный, и эта медиана проведена из вершины прямого угла.