Номер 22.3, страница 131 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.3. Для данных треугольников (рис. 22.6) постройте центры описанных окружностей.

Рис. 22.6

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Для нахождения центра достаточно построить два серединных перпендикуляра и найти их точку пересечения. Примем сторону одной клетки сетки за 1 единицу.

а) Треугольник на рисунке а) является прямоугольным. Введем систему координат так, чтобы вершина A была в точке (0, 0). Тогда B(4, 0) и C(2, 2). Найдем тангенсы углов наклона сторон AC и BC:

Угловой коэффициент прямой AC: $k_{AC} = \frac{2-0}{2-0} = 1$.

Угловой коэффициент прямой BC: $k_{BC} = \frac{2-0}{2-4} = -1$.

Поскольку произведение угловых коэффициентов $k_{AC} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$, стороны AC и BC перпендикулярны, и угол $\angle C = 90^{\circ}$.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине его гипотенузы. В данном случае гипотенузой является сторона AB. Середина отрезка AB с концами A(0, 0) и B(4, 0) находится в точке с координатами $(\frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2}) = (2; 0)$. Эта точка является центром описанной окружности.

Ответ: Центр описанной окружности находится в середине стороны AB.

б) Треугольник на рисунке б) является равнобедренным, так как вершина C находится на оси симметрии основания AB. Введем систему координат с началом в точке A(0, 0). Тогда B(4, 0) и C(2, 3).

Построим серединный перпендикуляр к основанию AB. Так как сторона AB горизонтальна, ее серединный перпендикуляр будет вертикальной линией, проходящей через ее середину. Середина AB имеет координаты $(\frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2}) = (2; 0)$. Таким образом, первый серединный перпендикуляр — это прямая $x = 2$.

Теперь построим серединный перпендикуляр к стороне AC. Середина AC имеет координаты $(\frac{0+2}{2}; \frac{0+3}{2}) = (1; 1,5)$. Угловой коэффициент прямой AC равен $k_{AC} = \frac{3-0}{2-0} = \frac{3}{2}$. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{2}{3}$.

Найдем точку пересечения двух перпендикуляров. Подставим $x=2$ в уравнение второго перпендикуляра, проходящего через точку $(1; 1,5)$ с коэффициентом $-\frac{2}{3}$: $y - 1,5 = -\frac{2}{3}(x - 1)$.

$y - 1,5 = -\frac{2}{3}(2 - 1) \Rightarrow y - 1,5 = -\frac{2}{3} \Rightarrow y = 1,5 - \frac{2}{3} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$.

Центр описанной окружности находится в точке $(2; \frac{5}{6})$.

Ответ: Центр описанной окружности находится на высоте $\frac{5}{6}$ над стороной AB, на прямой, проходящей через вершину C и перпендикулярной AB.

в) Для треугольника на рисунке в) введем систему координат с началом в левом нижнем углу видимой сетки. Тогда A(0, 1), B(5, 1) и C(3, 2).

Построим серединный перпендикуляр к стороне AB. Сторона AB горизонтальна. Ее середина находится в точке $(\frac{0+5}{2}; \frac{1+1}{2}) = (2,5; 1)$. Серединный перпендикуляр — это вертикальная прямая $x = 2,5$.

Теперь построим серединный перпендикуляр к стороне AC. Середина AC находится в точке $(\frac{0+3}{2}; \frac{1+2}{2}) = (1,5; 1,5)$. Угловой коэффициент прямой AC равен $k_{AC} = \frac{2-1}{3-0} = \frac{1}{3}$. Угловой коэффициент перпендикуляра равен $k_{\perp} = -3$.

Найдем точку пересечения, подставив $x=2,5$ в уравнение второго перпендикуляра $y - 1,5 = -3(x - 1,5)$.

$y - 1,5 = -3(2,5 - 1,5) \Rightarrow y - 1,5 = -3(1) \Rightarrow y = 1,5 - 3 = -1,5$.

Центр описанной окружности находится в точке $(2,5; -1,5)$. Эта точка лежит вне треугольника, что характерно для тупоугольных треугольников.

Ответ: Центр описанной окружности находится в точке с координатами (2,5; -1,5), то есть на 2,5 клетки ниже горизонтальной оси, проходящей через сторону AB, и на 2,5 клетки правее вертикальной оси, проходящей через точку A.