Номер 22.7, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.7. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, принадлежит высоте, опущенной из вершины, противолежащей основанию этого треугольника.

22.7. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведем из вершины $B$, противолежащей основанию, высоту $BH$. Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Докажем, что точка $I$ принадлежит высоте $BH$.

1. Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Следовательно, точка $I$ должна лежать на биссектрисе угла $B$, то есть угла $\angle ABC$.

2. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Таким образом, высота $BH$, опущенная на основание $AC$, является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Из этих двух утверждений следует, что и центр вписанной окружности $I$, и высота $BH$ лежат на одной и той же линии — биссектрисе угла $\angle ABC$. Это означает, что точка $I$ лежит на высоте $BH$.

Таким образом, мы доказали, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, принадлежит высоте, опущенной из вершины, противолежащей основанию.

Ответ: Что и требовалось доказать.