Номер 22.8, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.8. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, принадлежит биссектрисе угла, противолежащего основанию этого треугольника.

22.8. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, так что $AB = BC$. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около этого треугольника. Требуется доказать, что точка $O$ принадлежит биссектрисе угла $B$, который противолежит основанию $AC$.

Проведем из вершины $B$ биссектрису $BM$ к основанию $AC$. По определению, биссектриса делит угол $B$ на два равных угла: $\angle ABM = \angle CBM$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.

1. Поскольку $BM$ является медианой, она делит сторону $AC$ пополам в точке $M$. Таким образом, $M$ — середина $AC$.

2. Поскольку $BM$ является высотой, она перпендикулярна стороне $AC$. Таким образом, $BM \perp AC$.

Из этих двух фактов следует, что прямая, содержащая отрезок $BM$, является серединным перпендикуляром к стороне $AC$ (так как она проходит через середину $AC$ и перпендикулярна $AC$).

Центр описанной окружности треугольника по определению является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Это означает, что центр $O$ должен лежать на каждом из трех серединных перпендикуляров. В частности, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Как мы установили, биссектриса $BM$ (и содержащая ее прямая) является серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Следовательно, центр описанной окружности $O$ должен лежать на прямой $BM$.

Поскольку точка $O$ лежит на прямой $BM$, которая является биссектрисой угла $B$, то мы доказали, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, принадлежит биссектрисе угла, противолежащего основанию.

Ответ: Утверждение доказано.