Номер 22.12, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.12. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 5 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. В треугольник вписана окружность, которая касается боковой стороны $BC$ в точке $L$, боковой стороны $AB$ в точке $K$ и основания $AC$ в точке $M$.

По условию задачи, точка касания $L$ делит боковую сторону $BC$ на два отрезка, длины которых равны 5 см и 4 см, считая от основания. Основанием является сторона $AC$, значит, отрезок, примыкающий к вершине $C$ (которая лежит на основании), равен 5 см, а другой отрезок равен 4 см. Таким образом:

$CL = 5$ см,

$BL = 4$ см.

Длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:

$BC = BL + CL = 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны:

$AB = BC = 9 \text{ см}$.

Теперь используем свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных, проведенные из одной вершины до точек касания, равны.

1. Из вершины $C$ проведены касательные к точкам $L$ и $M$, следовательно, $CM = CL = 5$ см.

2. Из вершины $B$ проведены касательные к точкам $L$ и $K$, следовательно, $BK = BL = 4$ см.

3. Из вершины $A$ проведены касательные к точкам $K$ и $M$, следовательно, $AM = AK$.

Мы можем найти длину отрезка $AK$, зная длину стороны $AB$ и отрезка $BK$:

$AK = AB - BK = 9 \text{ см} - 4 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Значит, $AM = AK = 5$ см.

Длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $CM$:

$AC = AM + CM = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = AB + BC + AC = 9 \text{ см} + 9 \text{ см} + 10 \text{ см} = 28 \text{ см}$.

Ответ: 28 см.