Номер 22.16, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

22.16. Изобразите отрезок $\text{AB}$. С центром в точке $\text{A}$ и радиусом $\text{AB}$ проведите окружность. С центром в точке $\text{B}$ и радиусом $\text{BA}$ проведите окружность. Через точки пересечения этих окружностей проведите прямую. Что можно сказать об этой прямой?

22.16. Для решения задачи выполним последовательно все указанные действия и проанализируем результат.

1. Изобразим на плоскости отрезок $AB$. Пусть его длина равна $R$.

2. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R_1 = AB$. По определению, все точки этой окружности удалены от центра $A$ на расстояние $R$.

3. Построим вторую окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R_2 = BA$. Так как длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $BA$, то радиусы окружностей равны: $R_1 = R_2 = R$.

4. Две окружности с радиусом $R$, расстояние между центрами которых также равно $R$, пересекаются в двух точках. Обозначим эти точки пересечения как $C$ и $D$.

5. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.

Теперь проанализируем свойства полученной прямой $CD$ относительно исходного отрезка $AB$.

Рассмотрим точку $C$. Поскольку она лежит на первой окружности (с центром в $A$), расстояние от нее до центра $A$ равно радиусу: $AC = AB = R$. Поскольку точка $C$ также лежит на второй окружности (с центром в $B$), расстояние от нее до центра $B$ равно радиусу: $BC = BA = R$. Таким образом, мы имеем $AC = BC$. Это означает, что точка $C$ равноудалена от концов отрезка $AB$.

Рассмотрим точку $D$. Аналогично, так как $D$ лежит на первой окружности, $AD = AB = R$. Так как $D$ лежит на второй окружности, $BD = BA = R$. Таким образом, мы имеем $AD = BD$. Это означает, что точка $D$ также равноудалена от концов отрезка $AB$.

В геометрии известно, что множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему эти две точки, и проходящей через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром.

Поскольку обе точки $C$ и $D$ равноудалены от точек $A$ и $B$, они обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Через две различные точки можно провести единственную прямую. Следовательно, прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Таким образом, об этой прямой можно сказать, что она перпендикулярна отрезку $AB$ и делит его пополам.

Ответ: Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.