Номер 23.5, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.5. Постройте треугольник $ABC$ по данной стороне и двум данным прилежащим к ней углам.

Для решения задачи о построении треугольника $ABC$ по заданной стороне и двум прилежащим к ней углам воспользуемся циркулем и линейкой. Пусть нам даны отрезок, длина которого равна a, и два угла, $\alpha$ и $\beta$. Требуется построить треугольник $ABC$ так, чтобы сторона $BC$ была равна a, угол при вершине $B$ ( $\angle ABC$) был равен $\alpha$, а угол при вершине $C$ ($\angle BCA$) был равен $\beta$.

Построение

1. Проведём произвольную прямую l и отметим на ней точку B.

2. С помощью циркуля измерим длину a данной стороны. Установив ножку циркуля в точку B, отложим на прямой l отрезок равной длины. Получим точку C. Отрезок BC — одна из сторон будущего треугольника.

3. Теперь построим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке B и стороной BC.

а) Возьмем данный угол $\alpha$. Проведем дугу произвольного радиуса r с центром в вершине этого угла. Дуга пересечет стороны угла в двух точках, назовем их P₁ и P₂.

б) Тем же радиусом r проведем дугу с центром в точке B. Она пересечет луч BC в некоторой точке, назовем ее D.

в) Циркулем измерим расстояние между точками P₁ и P₂.

г) С этим расстоянием в качестве радиуса проведем дугу с центром в точке D. Она пересечет первую дугу (построенную из точки B) в некоторой точке. Обозначим ее K.

д) Проведем луч BK. Построенный угол $\angle KBC$ равен данному углу $\alpha$.

4. Аналогично построим угол, равный данному углу $\beta$, с вершиной в точке C и стороной CB, в той же полуплоскости относительно прямой BC.

а) Возьмем данный угол $\beta$. Проведем дугу произвольного радиуса r' с центром в его вершине, получив точки пересечения Q₁ и Q₂ на сторонах угла.

б) Тем же радиусом r' проведем дугу с центром в точке C, которая пересечет луч CB в точке E.

в) Измерим расстояние между Q₁ и Q₂.

г) С этим радиусом и центром в точке E проведем дугу, пересекающую дугу, построенную из точки C. Точку пересечения обозначим L.

д) Проведем луч CL. Построенный угол $\angle LCB$ равен данному углу $\beta$.

5. Лучи BK и CL пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку A.

6. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство

Построенный треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, по построению его сторона BC имеет заданную длину a. Угол $\angle ABC$ (совпадающий с $\angle KBC$) равен заданному углу $\alpha$, а угол $\angle BCA$ (совпадающий с $\angle LCB$) равен заданному углу $\beta$.

Исследование

Данная задача имеет решение тогда и только тогда, когда сумма двух данных углов меньше развернутого угла, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Если это условие не выполняется (т.е. $\alpha + \beta \ge 180^\circ$), то лучи BK и CL, построенные в одной полуплоскости, не пересекутся (они будут параллельны или расходящимися), и построить треугольник будет невозможно. Если же $\alpha + \beta < 180^\circ$, то лучи обязательно пересекутся, и притом в единственной точке. Следовательно, задача будет иметь единственное решение (все треугольники, построенные по этим данным, будут равны по второму признаку равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Для построения треугольника нужно на прямой отложить отрезок, равный данной стороне. Затем от концов этого отрезка в одной полуплоскости отложить лучи под заданными углами, используя метод построения угла, равного данному. Точка пересечения этих лучей даст третью вершину искомого треугольника.