Номер 23.6, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.6. Постройте угол, равный данному углу.

Для построения угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность действий. Пусть нам дан некоторый угол с вершиной в точке $A$. Наша задача — построить равный ему угол с вершиной в точке $O$.

Алгоритм построения

1. Проводим произвольный луч с началом в точке $O$. Этот луч будет одной из сторон нового угла.

2. На данном угле с вершиной $A$ проводим дугу произвольного радиуса $r$. Эта дуга пересечет стороны угла в точках $B$ и $C$.

3. Не изменяя раствор циркуля (сохраняя радиус $r$), устанавливаем его ножку в точку $O$ и проводим дугу того же радиуса. Дуга пересечет построенный луч в точке $D$.

4. Измеряем циркулем расстояние между точками $B$ и $C$ на исходном угле. Для этого устанавливаем ножку циркуля в одну из точек (например, $B$), а грифель — в другую ($C$).

5. Сохраняя этот новый раствор циркуля (равный длине отрезка $BC$), устанавливаем ножку в точку $D$ на нашей новой конструкции и делаем засечку на дуге, построенной в шаге 3. Обозначим точку пересечения как $E$.

6. С помощью линейки проводим луч, начинающийся в точке $O$ и проходящий через точку $E$.

В результате построен угол $\angle EOD$, который равен данному углу $\angle BAC$.

Доказательство

Чтобы доказать, что $\angle BAC = \angle EOD$, рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ODE$, которые были неявно построены в процессе.

По построению, стороны $AB$ и $AC$ являются радиусами дуги с центром в $A$, поэтому $AB = AC = r$.

Также по построению, $OD$ и $OE$ являются радиусами дуги с центром в $O$, и мы использовали тот же радиус $r$. Следовательно, $OD = OE = r$.

Из этого следует, что стороны $AB = OD$ и $AC = OE$.

Длину хорды $BC$ мы измерили циркулем и отложили ее от точки $D$, чтобы найти точку $E$. Таким образом, по построению, $BC = DE$.

Мы имеем два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle ODE$, у которых три стороны соответственно равны: $AB=OD$, $AC=OE$, $BC=DE$.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ODE$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно: $\angle BAC = \angle EOD$.

Таким образом, построенный угол равен данному.

Ответ: Угол, равный данному, построен в соответствии с описанным алгоритмом, корректность которого доказана на основе признака равенства треугольников по трем сторонам.