Номер 23.7, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.7. По данному рисунку 23.8 объясните, как построить треугольник $ABC$ по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $CD = m$.

Рис. 23.8

Задача о построении треугольника $ABC$ по двум сторонам $AB=c$, $AC=b$ и медиане $CD=m$ решается методом сведения к построению вспомогательного треугольника.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Медиана $CD$ делит сторону $AB$ пополам в точке $D$. Следовательно, $AD = DB = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}$. Рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике известны длины всех трех его сторон: $AC = b$ (по условию), $CD = m$ (по условию) и $AD = \frac{c}{2}$. Таким образом, мы можем построить треугольник $ADC$ по трем сторонам. Построив его, мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также середины стороны $AB$ — точки $D$. Зная положение точек $A$ и $D$, мы можем найти вершину $B$. Точка $B$ лежит на прямой $AD$ на расстоянии, равном $AD$, от точки $D$ (причем $D$ находится между $A$ и $B$). Этот анализ дает нам план построения.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки делим данный отрезок $c$ пополам, чтобы получить отрезок длиной $\frac{c}{2}$.

2. Строим отрезок $AD$ длиной $\frac{c}{2}$.

3. Строим треугольник $ADC$ по трем сторонам: $AD = \frac{c}{2}$, $AC = b$ и $CD = m$. Для этого проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $b$, и окружность с центром в точке $D$ и радиусом $m$. Точка пересечения этих окружностей является вершиной $C$.

4. На луче $AD$ откладываем от точки $D$ отрезок $DB$, равный $AD$. Таким образом, точка $B$ будет такой, что $D$ — середина $AB$.

5. Соединяем точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению имеет длину $b$. Сторона $AB$ состоит из двух отрезков $AD$ и $DB$, каждый из которых равен $\frac{c}{2}$. Следовательно, $AB = AD + DB = \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = c$. Отрезок $CD$ соединяет вершину $C$ с серединой $D$ стороны $AB$, значит, $CD$ является медианой. Длина медианы $CD$ по построению равна $m$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно в том и только в том случае, если можно построить треугольник $ADC$. Это, в свою очередь, возможно, если для длин его сторон $b$, $m$ и $\frac{c}{2}$ выполняется неравенство треугольника, то есть каждая сторона должна быть меньше суммы двух других:

$b + m > \frac{c}{2}$

$b + \frac{c}{2} > m$

$m + \frac{c}{2} > b$

Если эти условия выполнены, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Сначала строится треугольник $ADC$ по трем сторонам: $AC=b$, $CD=m$ и $AD=\frac{c}{2}$ (отрезок $\frac{c}{2}$ получается делением пополам отрезка $c$). Затем на луче $AD$ от точки $D$ откладывается отрезок $DB$, равный $AD$. Точки $A$, $B$ и $C$ являются вершинами искомого треугольника. Задача имеет решение, если длины $b$, $m$ и $\frac{c}{2}$ удовлетворяют неравенству треугольника.