Номер 23.4, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.4. Постройте треугольник $ABC$ по двум данным сторонам и углу между ними.

23.4. Задача состоит в построении треугольника по двум сторонам и углу между ними с помощью циркуля и линейки без делений. Пусть даны два отрезка с длинами $a$ и $b$, и угол $\alpha$. Требуется построить треугольник $ABC$ такой, что, например, $AB=a$, $AC=b$ и $\angle BAC = \alpha$.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую $l$ и отметим на ней точку $A$. Эта точка будет вершиной заданного угла в искомом треугольнике.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок, равный по длине одному из данных отрезков, например $a$. Для этого измерим циркулем длину отрезка $a$, затем установим острие циркуля в точку $A$ и проведём дугу, пересекающую прямую $l$. Точку пересечения обозначим $B$. Мы получили сторону $AB = a$.
3. Теперь построим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$ и одной стороной, лежащей на луче $AB$. Этот шаг называется "копированием угла".
   • Пусть данный нам угол $\alpha$ имеет вершину $O$. Проведём окружность произвольного радиуса $r$ с центром в точке $O$. Она пересечёт стороны данного угла в точках $K$ и $L$.
   • Не меняя раствора циркуля, проведём окружность того же радиуса $r$ с центром в точке $A$. Эта окружность пересечёт наш луч $AB$ в некоторой точке, назовём её $D$.
   • Измерим циркулем расстояние между точками $K$ и $L$.
   • Установим острие циркуля в точку $D$ и проведём дугу радиусом, равным $KL$. Эта дуга пересечёт окружность с центром в $A$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $E$.
   • Проведём луч $AE$ с помощью линейки. Угол $\angle EAB$ будет равен данному углу $\alpha$ по построению.
4. На построенном луче $AE$ отложим отрезок, равный второму данному отрезку $b$. Для этого измерим циркулем длину отрезка $b$, установим острие циркуля в точку $A$ и проведём дугу, пересекающую луч $AE$. Точку пересечения обозначим $C$. Мы получили сторону $AC = b$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком с помощью линейки.

В результате этих действий мы получили треугольник $ABC$. По построению, сторона $AB$ равна $a$, сторона $AC$ равна $b$, а угол $\angle BAC$ между ними равен $\alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ является искомым.

Эта задача всегда имеет решение, если длины сторон не равны нулю, а угол больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), все треугольники, удовлетворяющие заданным условиям, равны между собой. Это означает, что решение задачи единственно с точностью до конгруэнтности.

Ответ: Искомый треугольник построен по описанному выше алгоритму. Он существует и является единственным с точностью до равенства.