Номер 23.2, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.2. Постройте середину заданного отрезка.

23.2. Задача состоит в том, чтобы для заданного отрезка найти его среднюю точку, то есть точку, которая делит отрезок на две равные части. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Анализ

Пусть дан отрезок $AB$. Требуется построить точку $M$, принадлежащую отрезку $AB$, такую, что $AM = MB$. Эта задача сводится к построению серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Серединный перпендикуляр — это прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Также он является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Если мы найдем две различные точки, каждая из которых равноудалена от точек $A$ и $B$, то прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомым серединным перпендикуляром. Точка его пересечения с отрезком $AB$ будет серединой этого отрезка.

Построение

1. Пусть дан отрезок $AB$.

2. Установим раствор циркуля на радиус $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$ (например, можно выбрать радиус, равный длине всего отрезка $AB$).

3. Поставим ножку циркуля в точку $A$ и проведем дугу окружности радиусом $R$ с одной и с другой стороны отрезка.

4. Не меняя раствора циркуля ($R$), поставим его ножку в точку $B$ и проведем вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках. Обозначим эти точки пересечения $C$ и $D$.

5. С помощью линейки проведем прямую через точки $C$ и $D$.

6. Точка пересечения прямой $CD$ и отрезка $AB$ является искомой серединой отрезка. Обозначим эту точку буквой $M$.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCD$.

По построению, точки $C$ и $D$ были получены пересечением двух окружностей с одинаковым радиусом $R$ и центрами в точках $A$ и $B$. Следовательно:

• $AC = BC = R$ (как радиусы);

• $AD = BD = R$ (как радиусы).

• Сторона $CD$ у треугольников $ACD$ и $BCD$ является общей.

Таким образом, $\triangle ACD = \triangle BCD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности, $\angle ACM = \angle BCM$.

Теперь рассмотрим треугольники $ACM$ и $BCM$ (где $M$ — точка пересечения $CD$ и $AB$).

• $AC = BC$ (по построению).

• Сторона $CM$ является общей.

• $\angle ACM = \angle BCM$ (доказано выше).

Следовательно, $\triangle ACM = \triangle BCM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ACM$ и $BCM$ следует равенство их соответствующих сторон: $AM = BM$.

Это по определению означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Построение выполнено верно.

Исследование

Данное построение всегда возможно для любого отрезка ненулевой длины. Единственное условие — радиус $R$ дуг должен быть больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$), чтобы дуги пересеклись в двух точках. Если выбрать $R \le \frac{1}{2}AB$, то дуги либо не пересекутся, либо коснутся в одной точке, что не позволит построить прямую. При соблюдении этого условия задача всегда имеет единственное решение, так как середина у отрезка только одна.

Ответ: Искомая середина отрезка построена в соответствии с приведенным алгоритмом и доказательством.