Номер 22.14, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.14. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны 4 см, а угол, заключенный между ними, равен 120°.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 4$ см, а угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. Требуется найти радиус $R$ описанной около этого треугольника окружности.

Сначала найдем углы при основании треугольника. Так как треугольник $ABC$ является равнобедренным, углы при его основании $AC$ равны между собой. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому: $ \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} $

Подставив известное значение угла $\angle ABC$, получим: $ \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, согласно которому отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Применим эту формулу для стороны $BC$ и противолежащего ей угла $\angle BAC$: $ 2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} $

Подставим известные нам значения: $BC = 4$ см и $\angle BAC = 30^\circ$. $ 2R = \frac{4}{\sin 30^\circ} $

Известно, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Тогда: $ 2R = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8 $ см.

Отсюда находим искомый радиус $R$: $ R = \frac{8}{2} = 4 $ см.

Ответ: 4 см.