Вопросы, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие инструменты используются для построения геометрических фигур?

2. Какие построения производятся с помощью: а) линейки; б) циркуля?

3. Как построить серединный перпендикуляр к отрезку?

4. Как опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую?

5. Как построить биссектрису угла?

6. Как построить треугольник по трем сторонам?

1. В задачах на построение в классической евклидовой геометрии используются два основных инструмента: циркуль и линейка без делений. Циркуль позволяет строить окружности заданного радиуса с центром в данной точке. Линейка позволяет проводить прямую линию через две заданные точки. Иногда также могут использоваться другие инструменты, такие как транспортир для измерения углов или масштабная линейка для измерения длин, но классические задачи на построение подразумевают использование только циркуля и линейки.

Ответ: Для построения геометрических фигур в классических задачах используются циркуль и линейка без делений.

2. а) линейки: С помощью линейки (без нанесенных на нее делений) можно выполнить два действия: провести произвольную прямую на плоскости и провести прямую, проходящую через две заданные точки.

б) циркуля: С помощью циркуля можно выполнить два действия: провести окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку, а также отложить отрезок заданной длины на луче от его начала.

Ответ: Линейкой проводят прямые линии через две точки, а циркулем — окружности заданного радиуса и откладывают отрезки.

3. Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку, например, к отрезку AB, нужно:

1. Установить раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины отрезка AB.
2. Провести две дуги окружности с этим радиусом, поместив острие циркуля сначала в точку А, а затем в точку В.
3. Эти дуги пересекутся в двух точках (назовем их C и D), расположенных по разные стороны от отрезка AB.
4. С помощью линейки соединить точки C и D прямой линией.

Прямая CD будет являться серединным перпендикуляром к отрезку AB, так как любая ее точка равноудалена от концов отрезка A и B.

Ответ: Построить две пересекающиеся дуги равного радиуса (большего половины отрезка) с центрами в концах отрезка, а затем соединить точки пересечения этих дуг прямой линией.

4. Чтобы опустить перпендикуляр из данной точки P на данную прямую a, необходимо выполнить следующие действия:

1. Из точки P как из центра провести дугу окружности таким радиусом, чтобы она пересекла прямую a в двух точках. Назовем эти точки A и B.
2. Теперь задача сводится к построению серединного перпендикуляра для отрезка AB. Из точек A и B как из центров провести две дуги одинакового радиуса (достаточного для их пересечения) так, чтобы они пересеклись. Назовем точку их пересечения M.
3. Провести прямую через точки P и M.

Полученная прямая PM и будет перпендикуляром к прямой a, проходящим через точку P.

Ответ: Провести из точки дугу, пересекающую прямую в двух точках, а затем для полученного на прямой отрезка построить серединный перпендикуляр, который и будет искомым перпендикуляром.

5. Для построения биссектрисы угла с вершиной в точке O нужно:

1. Провести из вершины угла O произвольным радиусом дугу окружности, которая пересечет стороны угла в двух точках. Назовем их A и B.
2. Из точек A и B провести две дуги одинакового радиуса (любого, но достаточного для пересечения) внутри угла так, чтобы они пересеклись. Назовем точку их пересечения C.
3. Провести луч из вершины угла O через точку C.

Полученный луч OC является биссектрисой данного угла, так как он делит угол на два равных угла.

Ответ: Провести из вершины угла дугу, пересекающую его стороны, а затем из точек пересечения провести две одинаковые дуги внутри угла до их взаимного пересечения; луч, соединяющий вершину угла с точкой пересечения дуг, и есть биссектриса.

6. Чтобы построить треугольник по трем сторонам (a, b, c), необходимо убедиться, что выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$). Если условие выполняется, то построение производится так:

1. С помощью линейки начертить произвольную прямую и отложить на ней отрезок, равный одной из сторон, например, стороне c. Обозначим концы этого отрезка буквами A и B.
2. Из точки A как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине стороны b.
3. Из точки B как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине стороны a.
4. Точка пересечения этих двух дуг (назовем ее C) будет третьей вершиной треугольника.
5. Соединить точку C с точками A и B с помощью линейки.

Полученный треугольник ABC будет искомым треугольником со сторонами AB=c, AC=b и BC=a.

Ответ: Отложить на прямой один из отрезков, а затем из его концов провести дуги окружностей, радиусы которых равны двум другим отрезкам; точка пересечения дуг будет третьей вершиной треугольника.