Задания, страница 135 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Задача 2. Из данной точки, не принадлежащей данной прямой, опустить перпендикуляр на эту прямую.

Решение. Анализ. Пусть $\text{C}$ данная точка, $\text{d}$ данная прямая. Предположим, перпендикуляр $\text{CD}$ построен (рис. 23.3).

Рис. 23.3

Рис. 23.4

Тогда, если точки $\text{A}$ и $\text{B}$, принадлежащие прямой $\text{d}$, будут равноудалены от точки $\text{D}$, то прямая $\text{CD}$ будет серединным перпендикуляром к отрезку $\text{AB}$.

Построение. Для построения точек $\text{A}$ и $\text{B}$ проведем окружность с центром в точке $\text{C}$ и радиусом, большим расстояния от точки $\text{C}$ до прямой $\text{d}$ (рис. 23.4). В этом случае окружность пересечет прямую $\text{d}$ в двух точках. Обозначим их $\text{A}$ и $\text{B}$. Следуя предыдущей задаче 1, построим серединный перпендикуляр к отрезку $\text{AB}$. Так как точка $\text{C}$ равноудалена от точек $\text{A}$ и $\text{B}$, то она будет принадлежать этому серединному перпендикуляру. Обозначим $\text{D}$ точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой $\text{d}$. Отрезок $\text{CD}$ будет искомым перпендикуляром, опущенным из точки $\text{C}$ на прямую $\text{d}$.

Самостоятельно проведите доказательство и исследование.

Задача 3. Построить биссектрису данного угла.

Решение. Анализ. Пусть дан угол $\text{O}$. Предположим, что его биссектриса построена. Она является геометрическим местом внутренних точек $\text{C}$ этого угла, равноудаленных от его сторон (рис. 23.5), т. е. перпендикуляры $\text{CA}$ и $\text{CB}$, опущенные из точки $\text{C}$ на стороны угла, равны.

Рис. 23.5

Рис. 23.6

Из равенства прямоугольных треугольников $OAC$ и $OBC$ (по гипотенузе и катету) следует, что $OA = OB$. В равнобедренном треугольнике $OAB$ с основанием $\text{AB}$ биссектриса, проведенная из вершины $\text{O}$, является медианой и высотой. Следовательно, биссектриса будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $\text{AB}$.

Построение. Опишем окружность с центром в вершине $\text{O}$ данного угла, пересекающую стороны угла в точках $\text{A}$ и $\text{B}$ (рис. 23.6). Проведем серединный перпендикуляр к отрезку $\text{AB}$. Его часть, лежащая внутри данного угла, и будет искомой биссектрисой.

Самостоятельно проведите доказательство и исследование.

Задача 4. Построить треугольник $ABC$ с данными сторонами $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$.

Решение. Анализ. Заметим, что три отрезка будут служить сторонами треугольника, если каждый из них меньше суммы двух других и больше их разностей.

Построение. Пусть даны отрезки $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$, удовлетворяющие этому условию. Проведем прямую и отметим на ней точку $\text{A}$. Раствором циркуля величиной $\text{c}$ отложим на этой прямой отрезок $\text{AB}$, равный $\text{c}$. Раствором циркуля величиной $\text{b}$ опишем окружность с центром в точке $\text{A}$, раствором циркуля величиной $\text{a}$ опишем окружность с центром в точке $\text{B}$. Точку пересечения этих окружностей обозначим через $\text{C}$ и соединим отрезками с точками $\text{A}$ и $\text{B}$. Треугольник $ABC$ будет искомым (рис. 23.7).

Самостоятельно проведите доказательство и исследование.

Рис. 23.7

Задача 2. Из данной точки, не принадлежащей данной прямой, опустить перпендикуляр на эту прямую.

Анализ. Пусть дана точка $C$, не принадлежащая прямой $d$. Требуется построить перпендикуляр из точки $C$ на прямую $d$. Предположим, что искомый перпендикуляр $CD$ уже построен, где $D$ — основание перпендикуляра на прямой $d$. Если на прямой $d$ выбрать две точки $A$ и $B$ так, чтобы они были симметричны относительно точки $D$ (то есть $AD = DB$), то треугольники $\triangle CDA$ и $\triangle CDB$ будут равны по двум катетам ($CD$ — общий, $AD = DB$ по построению). Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: $CA = CB$. Это означает, что точка $C$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Следовательно, точка $C$ лежит на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Сам же отрезок $CD$ является частью этого срединного перпендикуляра. Таким образом, задача сводится к нахождению таких точек $A$ и $B$ на прямой $d$, от которых точка $C$ равноудалена, и последующему построению срединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

Построение. Построение выполняется в несколько шагов: 1) Проведем окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R$, который заведомо больше расстояния от точки $C$ до прямой $d$. 2) Эта окружность пересечет прямую $d$ в двух точках, которые мы обозначим $A$ и $B$. 3) По построению, отрезки $CA$ и $CB$ равны как радиусы одной окружности ($CA = CB = R$). 4) Теперь построим срединный перпендикуляр к отрезку $AB$ (построив две окружности с равными радиусами с центрами в точках $A$ и $B$ и соединив их точки пересечения). 5) Поскольку точка $C$ равноудалена от $A$ и $B$, она лежит на этом срединном перпендикуляре. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $d$ как $D$. 6) Отрезок $CD$ и есть искомый перпендикуляр.

Доказательство. Построенная прямая $CD$ является срединным перпендикуляром к отрезку $AB$. По определению, срединный перпендикуляр перпендикулярен отрезку, к которому он проведен. Следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $AB$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой $d$, то прямая $CD$ перпендикулярна прямой $d$, то есть $CD \perp d$.

Исследование. Задача имеет решение, если возможно выполнить второй шаг, то есть если окружность с центром в $C$ пересечет прямую $d$. Это всегда возможно, если выбрать ее радиус $R$ большим, чем расстояние от $C$ до $d$. Так как точка $C$ не лежит на прямой $d$, это расстояние положительно, и всегда можно выбрать радиус, превосходящий его. Построение срединного перпендикуляра для отрезка $AB$ также всегда возможно. Таким образом, задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Искомый перпендикуляр — это отрезок $CD$, где точки $A$ и $B$ — точки пересечения произвольной окружности с центром $C$ и прямой $d$, а $D$ — точка пересечения срединного перпендикуляра к отрезку $AB$ с прямой $d$.

Задача 3. Построить биссектрису данного угла.

Анализ. Пусть дан угол с вершиной в точке $O$. Требуется построить его биссектрису. Биссектриса угла — это геометрическое место точек внутри угла, равноудаленных от его сторон. Пусть луч $OC$ — искомая биссектриса. Возьмем на ней произвольную точку $C$ и опустим из нее перпендикуляры $CA$ и $CB$ на стороны угла. По свойству биссектрисы, $CA = CB$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$. У них общая гипотенуза $OC$ и равные катеты $CA = CB$. Следовательно, $\triangle OAC = \triangle OBC$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство других катетов: $OA = OB$. Это означает, что точки $A$ и $B$, лежащие на сторонах угла, равноудалены от вершины $O$. Треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным. Биссектриса $OC$ в нем является также медианой и высотой к основанию $AB$. Следовательно, луч $OC$ лежит на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Это наблюдение лежит в основе построения.

Построение. Выполним следующие шаги: 1) Проведем окружность произвольного, но ненулевого радиуса $R$ с центром в вершине угла $O$. 2) Эта окружность пересечет стороны угла в двух точках, которые мы обозначим $A$ и $B$. 3) По построению, $OA = OB = R$, то есть треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным. 4) Построим срединный перпендикуляр к отрезку $AB$. 5) Этот срединный перпендикуляр пройдет через вершину $O$ (так как $O$ равноудалена от $A$ и $B$). 6) Луч, исходящий из точки $O$ и проходящий по этому срединному перпендикуляру внутрь угла, является искомой биссектрисой.

Доказательство. Пусть $m$ — построенный срединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Поскольку $\triangle OAB$ равнобедренный ($OA=OB$), его биссектриса, проведенная из вершины $O$, совпадает с медианой и высотой. Срединный перпендикуляр к основанию $AB$ также проходит через вершину $O$ и является осью симметрии треугольника, а значит, и биссектрисой угла $\angle AOB$. Таким образом, построенный луч является биссектрисой данного угла.

Исследование. Построение возможно всегда, так как для любого угла можно провести окружность с центром в его вершине, которая пересечет обе его стороны (если радиус не нулевой). Построение срединного перпендикуляра также всегда возможно. Задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Искомая биссектриса — это луч, являющийся частью срединного перпендикуляра к отрезку $AB$, где $A$ и $B$ — точки пересечения сторон угла с произвольной окружностью, имеющей центр в вершине угла.

Задача 4. Построить треугольник ABC с данными сторонами AB = c, AC = b, BC = a.

Анализ. Даны три отрезка с длинами $a, b, c$. Требуется построить треугольник $\triangle ABC$ со сторонами $AB=c$, $AC=b$ и $BC=a$. Для того чтобы такой треугольник существовал, длины его сторон должны удовлетворять неравенству треугольника: длина каждой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон. То есть должны выполняться условия: $a < b+c$, $b < a+c$ и $c < a+b$. Геометрически это означает, что две окружности, построенные для нахождения третьей вершины, должны пересечься.

Построение. Шаги построения следующие: 1) Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $A$. 2) С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок $AB$, длина которого равна $c$. 3) Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $b$. 4) Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $a$. 5) Если неравенство треугольника выполняется, эти две окружности пересекутся в двух точках. Выберем любую из них и обозначим ее $C$. 6) Соединим точку $C$ с точками $A$ и $B$ отрезками. 7) Треугольник $\triangle ABC$ является искомым.

Доказательство. По построению, длина стороны $AB$ равна $c$. Точка $C$ лежит на окружности с центром в $A$ и радиусом $b$, следовательно, расстояние $AC$ равно $b$. Точка $C$ также лежит на окружности с центром в $B$ и радиусом $a$, следовательно, расстояние $BC$ равно $a$. Таким образом, построенный треугольник $\triangle ABC$ имеет стороны с заданными длинами $a, b, c$.

Исследование. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда окружности, построенные на шагах 3 и 4, пересекаются. Две окружности с центрами $A$, $B$ и радиусами $b$, $a$ соответственно пересекаются, если расстояние между их центрами (равное $c$) меньше суммы их радиусов и больше модуля их разности: $|a-b| < c < a+b$. Это и есть неравенства треугольника. Возможны три случая. Первый: если $c < a+b$ и $c > |a-b|$, то окружности пересекаются в двух точках, симметричных относительно прямой $AB$. Это дает два равных треугольника, и задача имеет решение. Второй: если $c = a+b$ или $c = |a-b|$, то окружности касаются в одной точке, которая лежит на прямой $AB$. В этом случае получается "вырожденный" треугольник. Третий: если $c > a+b$ или $c < |a-b|$, то окружности не пересекаются, и построить треугольник невозможно. Следовательно, задача имеет решение тогда и только тогда, когда для данных отрезков выполняется строгое неравенство треугольника.

Ответ: Искомый треугольник $\triangle ABC$ строится путем откладывания стороны $AB=c$ на прямой, и нахождения вершины $C$ как точки пересечения двух окружностей: одной с центром в $A$ и радиусом $b$, другой — с центром в $B$ и радиусом $a$.