Номер 22.10, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.10. Какой вид имеет треугольник, если центр вписанной в него окружности принадлежит одной из его высот?

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим центр вписанной в него окружности как $I$, а высоту, опущенную из вершины $B$ на сторону $AC$, как $BH$.

По условию задачи, центр вписанной окружности $I$ принадлежит высоте $BH$.

По определению, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Это означает, что точка $I$ также лежит на биссектрисе угла $ABC$.

Поскольку и высота $BH$, и биссектриса угла $B$ проходят через две общие точки — вершину $B$ и центр вписанной окружности $I$ — эти линии совпадают. Следовательно, высота $BH$ является одновременно и биссектрисой угла $B$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Они оба являются прямоугольными, так как $BH$ — высота и $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$. У этих треугольников есть общая сторона $BH$. Также, поскольку $BH$ — биссектриса, углы $\angle ABH$ и $\angle CBH$ равны.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по катету ($BH$) и прилежащему острому углу ($\angle ABH = \angle CBH$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае гипотенузы $AB$ и $CB$ равны, то есть $AB = CB$.

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.

Ответ: равнобедренный треугольник.