Номер 22.4, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.4. Постройте центры окружностей, вписанных в треугольники, изображенные на рисунке 22.7.

Рис. 22.7

а) Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис его углов. Чтобы найти этот центр, необходимо и достаточно построить две биссектрисы и найти точку их пересечения.

Процесс построения выглядит следующим образом:

1. Выберем любой угол треугольника, например, угол A. Поставим ножку циркуля в вершину A и проведём дугу, которая пересечёт стороны AB и AC в двух точках (назовём их M и N).

2. Далее, из точек M и N как из центров проведём две дуги одинакового радиуса внутри треугольника так, чтобы они пересеклись.

3. Соединим вершину A с полученной точкой пересечения дуг. Этот отрезок будет биссектрисой угла A.

4. Повторим аналогичную процедуру для другого угла, например, угла B, чтобы построить его биссектрису.

5. Точка, где пересекутся построенные биссектрисы, и будет являться центром вписанной окружности для данного треугольника.

Ответ: Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника, которая находится с помощью описанного геометрического построения.

б) Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения его биссектрис. Для его нахождения достаточно построить две биссектрисы.

Алгоритм построения:

1. Для одного из углов, например, угла C, строим биссектрису. Для этого с помощью циркуля проводим дугу с центром в вершине C, пересекающую стороны CA и CB.

2. Из точек пересечения на сторонах строим две новые дуги равного радиуса внутри угла до их взаимного пересечения.

3. Прямая, проходящая через вершину C и точку пересечения дуг, является биссектрисой угла C.

4. Проводим аналогичное построение для второго угла, например, угла A, и находим его биссектрису.

5. Точка пересечения двух построенных биссектрис является искомым центром вписанной окружности.

Ответ: Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника, которая находится с помощью описанного геометрического построения.

в) Центр вписанной окружности треугольника — это инцентр, точка, в которой пересекаются все три биссектрисы углов треугольника. Для нахождения этой точки достаточно построить две биссектрисы.

Порядок построения:

1. Строим биссектрису угла A. Устанавливаем циркуль в вершину A, чертим дугу, пересекающую стороны AB и AC. Из точек пересечения чертим ещё две одинаковые дуги внутри угла до их пересечения. Прямая из вершины A через точку пересечения этих дуг — биссектриса.

2. Строим биссектрису угла B. Повторяем ту же последовательность действий для вершины B и сторон BA и BC.

3. Находим точку пересечения двух построенных биссектрис. Эта точка и есть центр вписанной окружности. Третью биссектрису (угла C) строить не обязательно, так как она также пройдёт через эту точку.

Ответ: Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника, которая находится с помощью описанного геометрического построения.