Новые знания, страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, около всякого ли треугольника можно описать окружность?

Как вы думаете, во всякий ли треугольник можно вписать окружность?

Как вы думаете, около всякого ли треугольника можно описать окружность?

Да, около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. Такая окружность называется описанной.

Доказательство этого факта основано на свойстве серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Построим серединные перпендикуляры к двум его сторонам, например, $AB$ и $BC$. Они пересекутся в некоторой точке $O$ (они не могут быть параллельны, так как стороны $AB$ и $BC$ не лежат на одной прямой).

1. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, она равноудалена от вершин $A$ и $B$, то есть $OA = OB$.

2. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, она равноудалена от вершин $B$ и $C$, то есть $OB = OC$.

Из этих двух равенств следует, что $OA = OB = OC$. Равенство $OA = OC$ означает, что точка $O$ также лежит и на третьем серединном перпендикуляре (к стороне $AC$). Таким образом, все три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника ($A$, $B$, и $C$), она является центром окружности, проходящей через эти три вершины. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки $O$ до любой из вершин.

Ответ: Да, около всякого треугольника можно описать окружность.

Как вы думаете, во всякий ли треугольник можно вписать окружность?

Да, в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Такая окружность называется вписанной.

Доказательство этого факта основано на свойстве биссектрис углов треугольника. Биссектриса угла — это луч, который делит угол на два равных угла. Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Построим биссектрисы двух его углов, например, углов $A$ и $B$. Они пересекутся в некоторой точке $I$, так как лежат внутри треугольника.

1. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$.

2. Так как точка $I$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$.

Следовательно, точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника: $AB$, $BC$ и $AC$. Равенство расстояний от точки $I$ до сторон $AC$ и $BC$ означает, что точка $I$ также лежит и на биссектрисе третьего угла, $C$. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $I$.

Поскольку точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника, она является центром окружности, которая касается всех трех сторон. Радиус этой окружности равен расстоянию (длине перпендикуляра) от точки $I$ до любой из сторон.

Ответ: Да, во всякий треугольник можно вписать окружность.