Номер 21.17, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.17. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса $\text{R}$, касающихся данной окружности радиуса $R_1(R \neq R_1)$.

Пусть дана окружность $C_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$. Мы ищем геометрическое место центров $O$ окружностей $C$ радиуса $R$, касающихся окружности $C_1$. Касание двух окружностей может быть двух видов: внешнее и внутреннее.

При внешнем касании расстояние между центрами $O$ и $O_1$ равно сумме их радиусов: $O_1O = R + R_1$. Поскольку точка $O_1$ является фиксированной, а величины $R$ и $R_1$ — постоянные, то расстояние от искомой точки $O$ до фиксированной точки $O_1$ постоянно. Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии от заданной точки, есть окружность. Следовательно, в этом случае центры $O$ образуют окружность с центром в $O_1$ и радиусом, равным $R + R_1$.

При внутреннем касании расстояние между центрами $O$ и $O_1$ равно модулю разности их радиусов: $O_1O = |R - R_1|$. Так как по условию $R \neq R_1$, это расстояние является постоянной положительной величиной. Аналогично первому случаю, геометрическое место центров $O$ представляет собой окружность с центром в $O_1$ и радиусом, равным $|R - R_1|$.

Объединяя оба случая, мы получаем, что искомое геометрическое место точек состоит из двух окружностей. Обе эти окружности имеют общий центр $O_1$ с данной окружностью, то есть являются концентрическими ей.

Ответ: две окружности, концентрические с данной, с радиусами $R + R_1$ и $|R - R_1|$.