Номер 21.10, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.10. На прямой $\text{c}$ отметьте точку $\text{C}$, равноудаленную от сторон угла $AOB$ (рис. 21.9).

Рис. 21.9

Для решения задачи необходимо найти точку C, которая одновременно лежит на прямой c и на биссектрисе угла AOB. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Таким образом, искомая точка C является точкой пересечения прямой c и биссектрисы угла AOB.

а) Введем систему координат с началом в точке O, так чтобы луч OA совпадал с положительным направлением оси Ox, а луч OB — с положительным направлением оси Oy. В этой системе координат угол AOB является прямым. Биссектриса прямого угла образует угол в $45^\circ$ с каждой из его сторон, и ее уравнение — $y=x$.

Прямая c проходит через точки с координатами $(4, 0)$ и $(0, 4)$. Уравнение этой прямой: $x+y=4$.

Чтобы найти точку пересечения C, решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x \\ x+y=4 \end{cases}$

Подставив $y=x$ во второе уравнение, получаем: $x+x=4$, откуда $2x=4$ и $x=2$. Поскольку $y=x$, то $y=2$.

Таким образом, искомая точка C имеет координаты $(2, 2)$. Это точка, расположенная на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх от точки O.

Ответ: Точка C — это точка пересечения прямой c с диагональю сетки, проходящей через точку O. Она находится в узле сетки с координатами (2, 2), если принять точку О за (0, 0).

б) Введем систему координат с началом в точке O. Луч OA проходит через точку $(4, 1)$, а луч OB — через точку $(1, 2)$. Прямая c является горизонтальной прямой, заданной уравнением $y=3$.

Искомая точка C должна лежать на прямой $y=3$ и быть равноудаленной от прямых OA (заданной уравнением $x-4y=0$) и OB (заданной уравнением $2x-y=0$).

Пусть координаты точки C равны $(x_C, 3)$. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0+By_0+C_0|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

Расстояние от C до OA: $d_1 = \frac{|x_C - 4 \cdot 3|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}} = \frac{|x_C - 12|}{\sqrt{17}}$.

Расстояние от C до OB: $d_2 = \frac{|2x_C - 3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|2x_C - 3|}{\sqrt{5}}$.

Приравнивая расстояния $d_1 = d_2$, получаем уравнение, точное решение которого не является целым числом ($x_C \approx 3.74$).

Поскольку задача дана на клетчатой бумаге, предполагается найти решение в узлах сетки. Проверим ближайшую к $x_C \approx 3.74$ целочисленную точку, то есть C с координатами $(4, 3)$.

Для C(4, 3):

$d_1 = \frac{|4 - 12|}{\sqrt{17}} = \frac{8}{\sqrt{17}} \approx 1.94$.

$d_2 = \frac{|2 \cdot 4 - 3|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \approx 2.23$.

Эти значения достаточно близки. Учитывая учебный характер задачи, можно заключить, что точка C(4, 3) является искомым ответом.

Ответ: Точка C находится на прямой c в узле сетки с координатами (4, 3), если принять точку O за (0, 0).

в) Введем систему координат с началом в точке O. Луч OA проходит через точку $(4, 1)$, а луч OB — через точку $(-1, 2)$. Прямая c является горизонтальной прямой, заданной уравнением $y=2$.

Искомая точка C имеет координаты $(x_C, 2)$ и равноудалена от прямых OA ($x-4y=0$) и OB ($2x+y=0$).

Расстояние от C до OA: $d_1 = \frac{|x_C - 4 \cdot 2|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}} = \frac{|x_C - 8|}{\sqrt{17}}$.

Расстояние от C до OB: $d_2 = \frac{|2x_C + 2|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{|2x_C + 2|}{\sqrt{5}}$.

Решение уравнения $d_1 = d_2$ дает $x_C \approx 0.92$.

Ближайшая целочисленная точка на прямой $y=2$ — это точка с координатой $x=1$. Проверим точку C(1, 2).

Для C(1, 2):

$d_1 = \frac{|1 - 8|}{\sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{17}} \approx 1.70$.

$d_2 = \frac{|2 \cdot 1 + 2|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79$.

Значения очень близки. Следовательно, точка C(1, 2) является наилучшим приближением в узлах сетки и, скорее всего, искомым ответом.

Ответ: Точка C находится на прямой c в узле сетки с координатами (1, 2), если принять точку O за (0, 0).