Номер 21.6, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.6. Перед вами часть карты острова, на котором когда-то пираты зарыли сокровища (рис. 21.6). К сожалению, на карте не отмечено место, где они спрятаны, но зато сохранились ориентиры (камень на развилке дорог и два дуба), по которым можно определить место. Известно, что сокровища зарыты в месте, одинаково удаленном и от двух дорог, и от дубов. Сможете ли вы отыскать клад?

Рис. 21.6

Да, отыскать клад возможно. Для этого нужно использовать свойства геометрических мест точек, которые удовлетворяют заданным условиям.

Первое условие гласит, что клад находится в месте, одинаково удаленном от двух дорог. Дороги на карте показаны в виде двух лучей, выходящих из одной точки (камень на развилке). Эти лучи образуют угол. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла. Следовательно, клад лежит на биссектрисе угла, образованного дорогами.

Второе условие — клад находится в месте, одинаково удаленном от двух дубов. Дубы можно рассматривать как две точки на плоскости, назовем их $A$ и $B$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, клад лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Поскольку место клада должно удовлетворять обоим условиям одновременно, оно должно находиться в точке пересечения этих двух геометрических мест.

Алгоритм поиска клада:

1. Построить биссектрису угла, образованного дорогами.
2. Соединить прямой линией два дуба и построить серединный перпендикуляр к этому отрезку.
3. Точка, в которой пересекутся биссектриса и серединный перпендикуляр, и будет местом, где зарыт клад.

Так как в общем случае прямые (биссектриса и серединный перпендикуляр) пересекаются в одной-единственной точке, то место клада определяется однозначно.

Ответ: Да, отыскать клад можно. Он находится в точке пересечения биссектрисы угла, образованного дорогами, и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему два дуба.