Номер 21.2, страница 125 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.2. На клетчатой бумаге изобразите геометрическое место точек, равноудаленных от точек $\text{A}$ и $\text{B}$ (рис. 21.3).

Рис. 21.3

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек A и B, представляет собой прямую, которая является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Для построения этой прямой необходимо сначала найти середину отрезка AB, а затем провести через эту середину прямую, перпендикулярную отрезку AB.

а) 1. Определение координат. Введем систему координат, в которой узлы сетки имеют целочисленные координаты, а сторона клетки равна 1. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты (0, 0). Тогда точка A имеет координаты (0, 3), а точка B — (3, 1).

2. Нахождение середины отрезка AB. Пусть точка M — середина отрезка AB. Её координаты вычисляются как среднее арифметическое координат точек A и B:

$M_x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 3}{2} = 1.5$

$M_y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка AB — это точка M с координатами (1.5, 2).

3. Нахождение углового коэффициента прямой AB. Угловой коэффициент $k_{AB}$ (тангенс угла наклона) прямой, проходящей через точки A и B, равен:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - 3}{3 - 0} = -\frac{2}{3}$

4. Нахождение углового коэффициента серединного перпендикуляра. Угловой коэффициент $k_{\perp}$ прямой, перпендикулярной прямой AB, находится из условия перпендикулярности прямых: $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$.

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$

5. Построение прямой. Искомая прямая проходит через точку M(1.5, 2) и имеет угловой коэффициент $3/2$. Это означает, что при смещении на 2 клетки вправо по горизонтали, прямая поднимается на 3 клетки вверх по вертикали. Соединив точки, полученные таким образом, мы изобразим искомое геометрическое место точек.

Изображение искомой прямой на клетчатой бумаге:

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр к отрезку AB, который является прямой, проходящей через точку с координатами (1.5, 2) и имеющей угловой коэффициент $3/2$.

б) 1. Определение координат. Используя ту же систему координат, что и в пункте а), определяем координаты точек. Точка A имеет координаты (1, 3), а точка B — (4, 1).

2. Нахождение середины отрезка AB. Координаты середины M отрезка AB:

$M_x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 4}{2} = 2.5$

$M_y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка AB — это точка M с координатами (2.5, 2).

3. Нахождение углового коэффициента прямой AB.

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - 3}{4 - 1} = -\frac{2}{3}$

4. Нахождение углового коэффициента серединного перпендикуляра.

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$

5. Построение прямой. Искомая прямая проходит через точку M(2.5, 2) и имеет угловой коэффициент $3/2$. Для построения можно отметить точку M и провести через неё прямую так, чтобы при смещении на 2 клетки вправо она поднималась на 3 клетки вверх.

Изображение искомой прямой на клетчатой бумаге:

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр к отрезку AB, который является прямой, проходящей через точку с координатами (2.5, 2) и имеющей угловой коэффициент $3/2$.