Номер 21.1, страница 125 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.1. Какое геометрическое место точек представляет собой:

а) отрезок;

б) луч;

в) круг с центром $\text{O}$ и радиусом $\text{R}$;

г) кольцо с центром $\text{O}$ и радиусами $R_1$, $R_2$ ($R_1 < R_2$)?

а) Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, обладающих определённым свойством. Для отрезка, заданного двумя точками, например, $A$ и $B$, это свойство заключается в том, что для любой точки $X$, принадлежащей этому отрезку, сумма расстояний от неё до концов отрезка равна длине самого отрезка. Точки $X$ лежат на прямой, проходящей через $A$ и $B$.

Ответ: Отрезок с концами в точках $A$ и $B$ — это геометрическое место точек $X$, для которых выполняется равенство $AX + XB = AB$.

б) Луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $B$, состоит из отрезка $AB$ и всех точек $X$ на прямой $AB$, для которых точка $B$ лежит между $A$ и $X$. Это можно описать через расстояния. Точка $X$ принадлежит лучу, если она либо лежит на отрезке $AB$ ($AX + XB = AB$), либо точка $B$ лежит на отрезке $AX$ ($AB + BX = AX$).

Ответ: Луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $B$, — это геометрическое место точек $X$, для которых выполняется одно из двух равенств: $AX + XB = AB$ или $AB + BX = AX$.

в) Круг с центром в точке $O$ и радиусом $R$ — это фигура на плоскости, состоящая из всех точек, расстояние от которых до центра $O$ не превышает радиус $R$. Это включает как точки на самой окружности (расстояние равно $R$), так и все точки внутри неё (расстояние меньше $R$).

Ответ: Круг с центром $O$ и радиусом $R$ — это геометрическое место точек $X$, для которых выполняется неравенство $OX \le R$.

г) Кольцо с центром в точке $O$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ (где $R_1 < R_2$) представляет собой область на плоскости, заключённую между двумя концентрическими окружностями. Точка принадлежит кольцу, если её расстояние до центра $O$ больше или равно меньшему радиусу $R_1$ и одновременно меньше или равно большему радиусу $R_2$.

Ответ: Кольцо с центром $O$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ ($R_1 < R_2$) — это геометрическое место точек $X$, для которых выполняется двойное неравенство $R_1 \le OX \le R_2$.