Номер 20.15, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.15. Могут ли попарно касаться друг друга четыре окружности одинакового радиуса?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть расположение центров этих окружностей. Пусть радиус каждой из четырех окружностей равен $r$.

Условие касания двух окружностей означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Поскольку все окружности имеют одинаковый радиус $r$, расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей будет равно $r + r = 2r$.

По условию задачи все четыре окружности должны попарно касаться друг друга. Это означает, что если мы обозначим центры окружностей как $O_1, O_2, O_3, O_4$, то расстояние между любыми двумя из этих центров должно быть равно $2r$. Геометрическая фигура, вершинами которой являются четыре точки, попарные расстояния между которыми одинаковы, — это правильный тетраэдр.

Рассмотрим возможность такого расположения центров на плоскости, как это обычно предполагается в задачах по планиметрии.

Возьмем три центра: $O_1, O_2, O_3$. Расстояния между ними должны быть равны $2r$, поэтому они образуют на плоскости равносторонний треугольник со стороной $2r$.

Четвертый центр, $O_4$, также должен находиться на расстоянии $2r$ от каждого из центров $O_1, O_2, O_3$. На плоскости точка, равноудаленная от трех вершин треугольника, является центром описанной около него окружности. Найдем расстояние от этого центра до вершин нашего треугольника. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $a=2r$, следовательно, это расстояние равно $R = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Для попарного касания окружностей требуется, чтобы расстояние от $O_4$ до $O_1, O_2, O_3$ было равно $2r$. Однако мы получили, что единственная точка-кандидат на плоскости удалена от них на расстояние $\frac{2r}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} \neq 1$, то $\frac{2r}{\sqrt{3}} \neq 2r$. Возникает противоречие. Это означает, что на плоскости невозможно расположить четыре центра таким образом, чтобы выполнялось условие попарного касания.

Таким образом, на плоскости четыре окружности одинакового радиуса не могут попарно касаться друг друга.

Однако, если рассматривать окружности в трехмерном пространстве, то ответ меняется. В пространстве можно расположить четыре точки $O_1, O_2, O_3, O_4$ в вершинах правильного тетраэдра со стороной $2r$. Если в этих точках поместить центры окружностей радиуса $r$, то можно подобрать плоскости, в которых лежат эти окружности, таким образом, что они будут попарно касаться друг друга. Точки касания будут находиться в серединах ребер тетраэдра.

Ответ: На плоскости — нет, не могут. В трехмерном пространстве — да, могут.