Номер 20.13, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.13. Три окружности одинакового радиуса попарно касаются друг друга. Докажите, что их центры являются вершинами правильного треугольника.

Пусть центры трех окружностей находятся в точках $O_1$, $O_2$ и $O_3$. По условию задачи, все три окружности имеют одинаковый радиус, который мы обозначим буквой $r$.

Также по условию, окружности попарно касаются друг друга. Это означает, что каждая окружность касается двух других.

Рассмотрим пару окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$. Поскольку они касаются, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Следовательно, длина отрезка $O_1O_2$ равна $r + r = 2r$.

Аналогично, для пары касающихся окружностей с центрами в точках $O_2$ и $O_3$ расстояние между центрами $O_2O_3$ будет равно $r + r = 2r$.

И для последней пары касающихся окружностей с центрами в $O_1$ и $O_3$ расстояние $O_1O_3$ также будет равно $r + r = 2r$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle O_1O_2O_3$, вершинами которого являются центры данных окружностей. Стороны этого треугольника — это отрезки $O_1O_2$, $O_2O_3$ и $O_1O_3$.

Мы установили, что длины всех сторон этого треугольника равны: $O_1O_2 = 2r$ $O_2O_3 = 2r$ $O_1O_3 = 2r$

Так как $O_1O_2 = O_2O_3 = O_1O_3 = 2r$, все три стороны треугольника $\triangle O_1O_2O_3$ равны между собой. Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним, то есть правильным.

Таким образом, доказано, что центры трех попарно касающихся окружностей одинакового радиуса являются вершинами правильного треугольника.

Ответ: Стороны треугольника, образованного центрами окружностей, равны удвоенному радиусу ($2r$), поэтому такой треугольник является правильным (равносторонним).