Номер 20.16, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.16. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь: а) две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности; г)$\text{n}$ окружностей? Нарисуйте соответствующие окружности.

а) Две различные окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Чтобы получить наибольшее число точек, нужно расположить их так, чтобы они пересекались, а не касались или не имели общих точек.

Ответ: 2

б) Чтобы найти наибольшее число точек пересечения для трех окружностей, каждая окружность должна пересекать две другие в двух различных точках. Первые две окружности дают 2 точки пересечения. Третья окружность, чтобы дать максимальное количество новых точек, должна пересечь каждую из первых двух окружностей в двух новых точках. Таким образом, третья окружность добавит $2 \times 2 = 4$ точки. Общее число точек: $2 + 4 = 6$. Другой способ — посчитать количество пар окружностей. Из трех окружностей можно составить $C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ пары. Каждая пара дает 2 точки пересечения, итого $3 \times 2 = 6$ точек.

Ответ: 6

в) Для четырех окружностей используем тот же принцип: каждая пара окружностей должна пересекаться в двух точках. Количество пар из четырех окружностей равно $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. Каждая пара дает 2 точки пересечения, поэтому общее число точек равно $6 \times 2 = 12$. Или рассуждая пошагово: три окружности дают 6 точек. Четвертая окружность должна пересечь каждую из трех предыдущих в двух точках, добавляя $3 \times 2 = 6$ новых точек. Итого: $6 + 6 = 12$ точек.

Ответ: 12

г) Обобщим задачу для $n$ окружностей. Чтобы получить наибольшее число точек пересечения, каждая окружность должна пересекать каждую другую окружность в двух точках, и никакие три окружности не должны пересекаться в одной точке. Сначала найдем, сколько пар можно составить из $n$ окружностей. Это число сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$ Каждая такая пара окружностей дает 2 точки пересечения. Следовательно, общее максимальное число точек пересечения равно: $2 \times C_n^2 = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ Для получения такого расположения можно, например, взять $n$ окружностей одинакового радиуса, центры которых расположены на одной прямой на достаточно малых расстояниях друг от друга. Рисунки для предыдущих пунктов иллюстрируют этот принцип для $n=2, 3, 4$.

Ответ: $n(n-1)$