Задания, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Обратно, пусть точка $\text{C}$ принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с точкой $\text{O}$, тогда прямоугольные треугольники $AOC$ и $BOC$ равны (по катетам). Следовательно, $AC = BC$.

Изобразите отрезок и серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Теорема. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, лежащих внутри данного угла и одинаково удаленных от его сторон.

Доказательство. Рассмотрим угол с вершиной в точке $\text{O}$ и сторонами $\text{a}$, $\text{b}$. Пусть точка $\text{C}$ лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры $\text{CA}$ и $\text{CB}$ на стороны $\text{a}$ и $\text{b}$ соответственно (рис. 21.2).

Если $CA = CB$, то прямоугольные треугольники $AOC$ и $BOC$ равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы $AOC$ и $BOC$ равны. Значит, точка $\text{C}$ принадлежит биссектрисе угла.

Обратно, если точка $\text{C}$ принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники $AOC$ и $BOC$ равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, $AC = BC$. Значит, точка $\text{C}$ одинаково удалена от сторон данного угла.

Изобразите угол и биссектрису этого угла.

Изобразите отрезок и серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. На рисунке ниже изображен отрезок AB. Точка M — его середина, то есть $AM = MB$, что показано одинаковыми красными штрихами. Прямая p (синего цвета) проходит через точку M и перпендикулярна отрезку AB ($p \perp AB$), что показано символом прямого угла. Таким образом, прямая p является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: Изображение и пояснения к нему представлены выше.

Изобразите угол и биссектрису этого угла.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на две равные части. На рисунке ниже изображён угол с вершиной в точке O и сторонами a и b. Луч l (синего цвета) является его биссектрисой, так как он делит исходный угол на два равных угла. Равенство этих углов показано одинаковыми красными дугами.

Ответ: Изображение и пояснения к нему представлены выше.