Номер 21.3, страница 125 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.3. На прямой $\text{c}$ изобразите точку $\text{C}$, равноудаленную от точек $\text{A}$ и $\text{B}$ (рис. 21.4).

Рис. 21.4

Для решения задачи необходимо найти точку C на прямой c, для которой расстояния AC и BC равны. Множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек A и B, является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Таким образом, искомая точка C является точкой пересечения прямой c и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

а) Введем систему координат, в которой одна клетка соответствует единице. Пусть левый нижний угол сетки будет началом координат (0,0). Тогда точки A и B имеют координаты A(1, 1) и B(3, 1).

1. Найдем серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Середина отрезка AB, точка M, имеет координаты: $M = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{1+3}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2, 1)$.

Так как отрезок AB лежит на горизонтальной прямой $y=1$, его серединный перпендикуляр будет вертикальной прямой, проходящей через точку M. Уравнение этой прямой: $x=2$.

2. Найдем уравнение прямой c.

Прямая c проходит через точки (0, 2) и (4, 4). Ее угловой коэффициент (наклон) равен: $k = \frac{4-2}{4-0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Так как прямая проходит через точку (0, 2), ее уравнение в виде $y=kx+b$ будет: $y = \frac{1}{2}x + 2$.

3. Найдем точку пересечения C прямой c и серединного перпендикуляра.

Для этого решим систему уравнений: $\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 2 \\ x = 2 \end{cases}$

Подставив $x=2$ в первое уравнение, получим: $y = \frac{1}{2}(2) + 2 = 1 + 2 = 3$.

Таким образом, координаты искомой точки C — (2, 3).

На рисунке эта точка находится на пересечении прямой c и вертикальной линии сетки, которая проходит ровно посередине между точками A и B.

Ответ: Точка C находится на прямой c в точке с координатами (2, 3) в указанной системе координат.

б) Введем аналогичную систему координат. Пусть левый нижний угол сетки будет началом координат (0,0). Тогда точки A и B имеют координаты A(1, 3) и B(4, 1). Прямая c является вертикальной линией, проходящей через $x=3$. Ее уравнение: $x=3$.

1. Найдем серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Середина отрезка AB, точка M, имеет координаты: $M = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{1+4}{2}, \frac{3+1}{2}) = (2.5, 2)$.

Угловой коэффициент прямой AB равен: $k_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{1-3}{4-1} = -\frac{2}{3}$.

Серединный перпендикуляр перпендикулярен прямой AB, поэтому его угловой коэффициент $k_{\perp}$ равен: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.

Уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку M(2.5, 2), имеет вид $y - y_M = k_{\perp}(x - x_M)$: $y - 2 = \frac{3}{2}(x - 2.5)$.

2. Найдем точку пересечения C прямой c и серединного перпендикуляра.

Для этого решим систему уравнений: $\begin{cases} y - 2 = \frac{3}{2}(x - 2.5) \\ x = 3 \end{cases}$

Подставим $x=3$ в первое уравнение: $y - 2 = \frac{3}{2}(3 - 2.5) = \frac{3}{2}(0.5) = \frac{3}{4} = 0.75$.

$y = 2 + 0.75 = 2.75$.

Таким образом, координаты искомой точки C — (3, 2.75).

На рисунке эта точка находится на прямой c на высоте 2.75 клетки от нижней горизонтальной оси (или на 3/4 клетки выше второй горизонтальной линии сетки).

Ответ: Точка C находится на прямой c в точке с координатами (3, 2.75) в указанной системе координат.