Номер 21.9, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.9. Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон (рис. 21.8).

Рис. 21.8

Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, — это биссектриса этого угла. Биссектриса представляет собой луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла.

а) На рисунке а) изображен угол $AOB$, который является прямым. Его величина составляет $90^\circ$.

Биссектриса прямого угла делит его на два равных угла по $45^\circ$ каждый. На клетчатой бумаге, если принять вершину угла $O$ за начало координат, а его стороны $OA$ и $OB$ за координатные оси, то биссектриса будет совпадать с лучом, заданным уравнением $y=x$. Этот луч проходит через узлы сетки по диагонали, то есть через точки с относительными координатами $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ и так далее, относительно вершины $O$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это луч, выходящий из вершины $O$ и проходящий через диагонали клеток сетки.

б) На рисунке б) изображен острый угол $AOB$. Введем систему координат с началом в вершине $O$. Из рисунка видно, что сторона $OA$ проходит через узел сетки с относительными координатами $(4,1)$. Сторона $OB$ проходит через узел сетки с относительными координатами $(1,4)$.

Прямые, содержащие лучи $OA$ и $OB$, задаются уравнениями $y = \frac{1}{4}x$ и $y = 4x$ соответственно. Эти прямые симметричны относительно прямой $y=x$. Следовательно, биссектрисой угла $AOB$ является луч, задаваемый уравнением $y=x$ (для $x \ge 0$). Как и в предыдущем случае, этот луч проходит через диагонали клеток сетки.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это луч, выходящий из вершины $O$ и проходящий через диагонали клеток сетки.

в) На рисунке в) изображен угол $AOB$. Для нахождения его биссектрисы применим общее свойство. Биссектриса делит угол пополам.

Введем систему координат так, чтобы вершина $O$ находилась в точке $(2,0)$ сетки. Тогда луч $OA$ проходит через точку $(6,1)$, а луч $OB$ — через точку $(1,3)$. В отличие от предыдущих случаев, биссектриса этого угла не будет проходить точно по узлам или диагоналям сетки. Для построения биссектрисы можно было бы использовать классический метод с циркулем и линейкой: отложить на сторонах угла от вершины равные отрезки, а затем найти точку, равноудаленную от их концов. Поскольку мы изображаем решение на сетке, мы можем лишь нарисовать луч, который визуально делит угол $AOB$ на две равные части. Этот луч пройдет между лучами $OA$ и $OB$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это биссектриса угла $AOB$, то есть луч, выходящий из вершины $O$ и делящий угол на две равные части.