Номер 21.16, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.16. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса $\text{R}$, касающихся данной окружности того же радиуса $\text{R}$.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Мы ищем геометрическое место центров $O'$ всех окружностей $\omega'$ радиуса $R$, которые касаются окружности $\omega$.

Две окружности могут касаться друг друга двумя способами: внешним или внутренним. Рассмотрим оба этих случая.

1. Внешнее касание

Если окружность $\omega'$ касается окружности $\omega$ внешним образом, то расстояние между их центрами $O$ и $O'$ равно сумме их радиусов. Поскольку радиусы обеих окружностей по условию равны $R$, расстояние $OO'$ составляет:

$OO' = R + R = 2R$

Это означает, что центр $O'$ касающейся окружности находится на постоянном расстоянии, равном $2R$, от фиксированной точки $O$ (центра данной окружности). По определению, геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии от заданной точки, является окружностью. Следовательно, в этом случае искомое множество центров $O'$ — это окружность с центром в точке $O$ и радиусом $2R$.

2. Внутреннее касание

Если окружность $\omega'$ касается окружности $\omega$ внутренним образом, то расстояние между их центрами $O$ и $O'$ равно модулю разности их радиусов. В нашем случае это расстояние равно:

$OO' = |R - R| = 0$

Нулевое расстояние между центрами означает, что их центры совпадают, то есть точка $O'$ совпадает с точкой $O$. Если у двух окружностей совпадают центры и равны радиусы, то эти окружности совпадают. Совпадающие окружности имеют бесконечно много общих точек, в то время как касание (в строгом смысле) предполагает наличие ровно одной общей точки. Поэтому этот случай обычно считается вырожденным и не рассматривается как касание.

Таким образом, искомым геометрическим местом центров является фигура, полученная в первом случае.

Ответ: Окружность, концентрическая данной, с радиусом $2R$.