Номер 21.15, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.15. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных пересекающихся прямых $\text{a}$ и $\text{b}$.

21.16.

21.15. Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Пусть точка $C$ является центром окружности, которая касается обеих этих прямых, а $r$ — её радиус. По определению касания окружности и прямой, расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу. Следовательно, расстояние от точки $C$ до прямой $a$ равно $r$, и расстояние от точки $C$ до прямой $b$ также равно $r$. Это означает, что любая точка $C$, являющаяся центром такой окружности, равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара прямых, являющихся биссектрисами углов, образованных исходными прямыми. Две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов. Биссектрисы этих углов образуют две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку пересечения прямых $a$ и $b$.

Любая точка, принадлежащая этим биссектрисам, может быть центром окружности, касающейся прямых $a$ и $b$. Однако, следует исключить саму точку пересечения прямых $a$ и $b$. Если центр окружности совпадает с точкой пересечения прямых, то для касания её радиус должен быть равен нулю (вырожденный случай). Окружность с ненулевым радиусом и центром в точке пересечения будет пересекать прямые, а не касаться их.

Таким образом, искомое геометрическое место центров — это две взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся биссектрисами углов, образованных прямыми $a$ и $b$, за исключением их точки пересечения.

Ответ: пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми, за исключением точки пересечения этих прямых.