Номер 21.11, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.11. Населенные пункты $\text{M}$, $\text{N}$, $\text{K}$ не расположены на одной прямой (рис. 21.10). Каким образом следует проложить через пункт $\text{N}$ прямолинейную дорогу, одинаково удаленную от пунктов $\text{M}$ и $\text{K}$?

Рис. 21.10

Задача заключается в том, чтобы найти прямую, проходящую через точку $N$ и равноудаленную от точек $M$ и $K$. Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Существует два возможных решения этой задачи, основанных на расположении точек $M$ и $K$ относительно дороги.

Первый способ

В этом случае пункты $M$ и $K$ располагаются по одну сторону от дороги. Если прямая равноудалена от двух точек и не разделяет их, она должна быть параллельна отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, искомая дорога должна быть параллельна прямой $MK$. Так как дорога должна проходить через пункт $N$, то ее положение определяется однозначно.

Построение заключается в том, чтобы через точку $N$ провести прямую, параллельную прямой, проходящей через точки $M$ и $K$.

Ответ: Провести через пункт $N$ прямую, параллельную прямой $MK$.

Второй способ

В этом случае пункты $M$ и $K$ находятся по разные стороны от дороги. Пусть дорога (прямая $d$) пересекает отрезок $MK$ в точке $P$. Опустим перпендикуляры $MM_1$ и $KK_1$ из точек $M$ и $K$ на прямую $d$. По условию, их длины равны: $MM_1 = KK_1$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MM_1P$ и $\triangle KK_1P$. Они равны по катету и противолежащему острому углу: $MM_1 = KK_1$ по условию, а $\angle M_1PM = \angle K_1PK$ как вертикальные углы. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $MP = KP$. Это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $MK$. Таким образом, дорога должна проходить через середину отрезка $MK$.

Поскольку дорога также должна проходить через пункт $N$, для ее построения необходимо найти середину $P$ отрезка $MK$ и провести прямую через точки $N$ и $P$.

Ответ: Найти середину отрезка $MK$ и провести прямую через эту середину и пункт $N$.